Щодо методів Пфафафа в підрахунку та комбінаториці

13

Нещодавно я переглядав вступ до голографічних алгоритмів. Я натрапив на деякі комбінаторні об’єкти під назвою Пфаффі. На даний момент я не дуже знаю про них, і натрапив на дивовижні користі, які вони можуть застосувати.

Наприклад, я дізнався, що вони можуть бути використані для ефективного підрахунку кількості ідеальних відповідностей у плоских графах. Також їх можна використовувати для підрахунку кількості можливих обшивок шахової дошки за допомогою плиток 2 * 1. Зв’язок із плиткою здався мені дуже цікавим, і я намагався шукати більш релевантні матеріали в Інтернеті, але в більшості місць я знайшов лише одне-два твердження про з'єднання і більше нічого.

Я просто хотів запитати, чи може хтось запропонувати посилання на відповідну літературу, як це було б справді чудово, і я з нетерпінням чекаю вивчити деякі супутні матеріали.

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— Акаш Кумар
джерело

3

Це відомо як "проблема димеру". Огляд наведено в розділі 7.14 «Точно вирішених моделей» Бакстера, а також у math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf Кількість димерів може бути виражена як функція розділу розділу моделі Ізінга, відпрацьований приклад функції розділення Ісінга через Pfaffian

— Ярослав Булатов

дякую за коментар Ярослав. Приклад коммунікації виглядає корисним

— Акаш Кумар

Можливо, вас зацікавить коротка історія пфафіян з combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf

— Radu GRIGо

Дякую за коментар Раду. Я натрапив на ще одне опитування Робіна Томаса. Ви можете знайти його тут people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

— Акаш Кумар

17

(Це цікаве для мене питання, оскільки я також читаю про Пфаффіан.)

Я пропоную наступні посилання:

Глава 8 дивовижної книги « Теорія відповідності Ловаша та Пламмера».
Паперові алгоритми, що не містять розділів, для детермінанта та Pfa ﬃ an: Алгебраїчний та комбінаторний підходи Рот. Ця стаття пов'язує Pfaffian з комбінаторним об'єктом, який називається чергуванням замкнутої послідовності ходу (т.к. чергування послідовності клоуна), що дає нам динамічний алгоритм (без поділу) для обчислення Pfaffian.
У статті неперетинаються контури, площі та плоскі перегородки Стьембриджа, де показано, як використовувати Pfaffian для перерахування конфігурацій у комбінаториці. У статті також даються комбінаторні докази основних ідентичностей, наприклад,

Якщо - кососиметрична матриця, то . $A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

— Дай Ле
джерело

2

Дійсно, дякую Дай. Це справді хороші посилання. Я перейду через них дуже скоро. Знову дякую. І так, насолоджуйтесь цим Різдвом і дуже щасливим новим роком!

— Акаш Кумар

@arnab та @Akash Я радий, що моя пропозиція допомагає! З Різдвом і новим роком вам двом!

— Dai Le

@Dai, це виглядає дуже цікаво. У якому з цих трьох посилань згадується алгоритм Берковіца (версія Pfaffian)?

— Майкл Солтис

12

Ви можете знайти цей документ про схеми Pfaffian та посилання на них цікавими; Я мав на увазі це самостійне введення в голографічні алгоритми, а також вивчення того, що можна зробити з Pfaffians.

— Джейсон Мортон
джерело

Це круто! Дякуємо та з новим роком!

— Dai Le

Хто ... це чудово! Цілком співзвучний тому, що я хотів. Велике спасибі (і так, щасливий новий рік)

— Акаш Кумар

6

Це справді мало б бути коментарем, але через брак місця я публікую це як відповідь.

Дякуємо за відповіді та коментарі всім. Нещодавно я натрапив на ще одне опитування Робіна Томаса. Ви можете знайти його тут http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Крім цього, я також додав би одне твердження про з'єднання плитки (на що вказував мені професор Дана Рендалл). Якщо взяти подвійну решітку, то 2x1 плитка доміно - це лише краї. Тому ідеальне облицювання плитки - це саме ідеальне відповідність у подвійному. Тоді теорію Пфаффіян можна використовувати для підрахунку досконалих відповідностей у плоских графах.

Це означає, що ви можете в першу чергу зосередитись на підрахунку ідеальних відповідностей у графіку - решта просто тривіально.

— Акаш Кумар
джерело

3

Є також робота, яку виконують Чарльз Літтл, Фішер, МакКейг, Робертсон, Сеймур і Томас, Лобл, Галлуччо, Теслер, Міранда, Лучесі, де Карвальо та Мерті (ті, які мені зараз спадають на думку).