Мінімальна кількість транспозицій для сортування списку

Намагаючись розробити власний алгоритм сортування, я шукаю оптимальний орієнтир, з яким я можу порівняти його. Для несортованого впорядкування елементів A і відсортованого впорядкування B , що є ефективним способом обчислення оптимальної кількості транспозицій, щоб дістатись від A до B ?

Транспозиція визначається як перемикання положення двох елементів у списку, наприклад

1 2 4 3

має одну транспозицію (транспозицію 4 і 3) для її здійснення

1 2 3 4

Щось на зразок

1 7 2 5 9 6

вимагає 4 транспозицій (7, 2), (7, 6), (6,5), (9, 7)

Оновлення (9/7/11): питання змінено на використання "транспозиції" замість "свопів" для позначення не суміжних бірж.

ds.algorithms co.combinatorics sorting

— сова
джерело

що робити, якщо ви можете просто поміняти сусідів? як я можу визначити мінімальну кількість свопів?

Відповіді:

Якщо ви маєте справу лише з перестановками елементів, вам знадобиться саме $n$ свопи, де є число циклів врозкладанні непересічних циклув . Оскільки ця відстань є двоінваріантною, для перетворення на (або в , або навпаки) потрібно $n-c(\pi)$ $c(\pi)$ $\pi$ $\pi$ $\sigma$ $A$ $B$ таких ходів. $n-c(\sigma^{-1}\circ\pi)$

— Ентоні Лабарре
джерело

Незважаючи на те, що проголосували за це давно, воно сьогодні просто натиснуло. Як кубик Рубіка, правда: D?

— сова

Відстань обміну також може бути ізометрично вбудована в евклідовий простір. Для кожного рядка s побудуйте матрицю де $M(s)$ якщо виникає перед а в іншому випадку дорівнює нулю. Тоді відстань Фробеніуса - відстань заміни $M_{ij} = 1$ $i$ $j$ $\|M(s) - M(s')\|^2$ . (ізслайдів Грема Кормода). Не настільки елегантний, як відповідь Ентоні, але досить легко обчислити. $d(s,s')$

Оновлення: дивіться коментарі Олександра

— Суреш Венкат
джерело

Мені здається, що в уявленні Грема вони мають на увазі спектральну норму (

), а не норму Фробеніуса (

‖ A ‖_{2}

$\|A\|_2$

‖ A ‖_{F}

$\|A\|_F$

— Олександр Бондаренко

хоча якщо все, що ви хочете зробити, це порахувати різниці, то квадрат норми frobenius повинен працювати правильно?

— Суреш Венкат

що, звичайно, відстань Хеммінга для матриць 0-1

— Суреш Венкат

Ви маєте рацію щодо рівності між квадратом норми Фробеніуса та відстані Хеммінга. Я хотів би додати, що відстань Хеммінга розділена на

дорівнює відстані своп. Але питання стосувалося відстані транспозиції ("своп визначається як перемикання положення двох елементів у списку"), а не про відстань підміни. Що стосується спектральної норми, то її площа дорівнює відстані підміни.

2

$2$

— Олександр Бондаренко

Олександр: Тож я гадаю, що ви трактуєте "заміни" як "обмін двома суміжними елементами"?

— Ентоні Лабарре