Чи є важкі екземпляри 3-SAT, коли в пунктах можуть використовуватися лише букви, які знаходяться "поруч"?

Нехай змінні будуть . Відстань між двома змінними визначається як d ( x a , x b ) = | а - б | . Відстань між двома літералами - це відстань між відповідними двома змінними.$x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

Припустимо, у мене є екземпляр 3 SAT, такий, що для кожного пункту маємо d ( x a , x b ) ≤ N ∧ d ( x a , x c ) ≤ N ∧ d ( x б , х з ) ≤ N для деякого фіксованого значення N .$(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

Концептуально ви можете це уявити, оскільки всі літерали перебувають фізично на лінії, і всі пункти з фізичних причин неможливо досягти певної довжини.

Враховуючи це обмеження, чи є важкі екземпляри 3-SAT? Яким маленьким я можу зробити сусідство і все ще знайти важкі екземпляри? Що робити, якщо я дозволю кількома застереженнями порушити обмеження?

Я важко маю на увазі, що евристичний вирішувач відкинеться на найгірший випадок.

Ні. Якщо екземпляр 3-SAT має застереженнями, ви можете перевірити відповідність за час O ( m 2 N ) . Оскільки $m$$O(m 2^N)$$N$ - фіксована константа, це алгоритм поліноміального часу, який вирішує всі випадки вашої проблеми.

Алгоритм працює в етапах. Нехай φ i позначає формулу, що складається з пунктів, у яких використовуються лише змінні з x 1 , … , x i . Нехай S i ⊆ { 0 , 1 } n позначає набір призначень x i - N , x i - N + 1 , … , x i, який можна поширити на задовольняюче завдання для φ i . Зауважимо, що дано $m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$ , ми можемо обчислити$S_{i-1}$ в O ( 2 N ) час: для кожного$S_i$$O(2^N)$ ми спробуємо обидві можливості для x i і перевіримо, чи він задовольняє всім пунктам із φ i, що містять змінну x i ; якщо так, додаємо ( x i - N , $(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$до S i , i ) . В$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

$t$$O(m 2^{(t+1)N})$$t$є фіксованою постійною, це поліноміальний час. Можливі ефективніші алгоритми.

Incident graph of a SAT formula is a bipartite graph that has a vertex for each clause and each variable. We add edges between a clause and all of its variables. If the incident graph has bounded treewidth then we can decide the SAT formula in P, actually we can do much more. Your incident graph is very restricted. E.g it is a bounded pathwidth graph, so it is polynomial time solvable. For the above well known structural result e.g. take a look at: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106.