Методи доказування, що показують, що перевірка залежного типу вирішується

Я знаходжусь у ситуації, коли мені потрібно показати, що перевірка типу визначається для обчислення залежно типовим типом, над яким я працюю. Поки мені вдалося довести, що система сильно нормалізується, і, таким чином, визначальна рівність є вирішальною.

У багатьох прочитаних нами посиланнях рішучість перевірки типу вказана як наслідок сильної нормалізації, і я вважаю, що в цих випадках, але мені цікаво, як можна реально це показати.

Зокрема, я зациклювався на наступному:

• Тільки тому, що добре введені терміни сильно нормалізуються, це не означає, що алгоритм не буде вічно циклічним на введеннях, що не вводяться добре.
• Оскільки логічні стосунки зазвичай використовуються для демонстрації сильної нормалізації, немає зручної метрики зменшення, оскільки ми просуваємо перевірку термінів. Тож навіть якщо правила мого типу спрямовані на синтаксис, немає гарантії, що застосування правил з часом припиниться.

Мені цікаво, чи хтось добре посилається на доказ рішучості перевірки набору тексту для залежно введеної мови? Якщо це невелике обчислення ядра, це добре. Все, що обговорює доказові методи для виявлення рішучості, було б чудово.

Тут справді є тонкість, хоча у випадку перевірки типу все добре виходить. Я напишу тут питання, оскільки воно, схоже, з’являється у багатьох пов’язаних темах, і спробую пояснити, чому все виходить добре, коли перевірка типу використовується в «стандартній» теорії залежного типу (я буду свідомо розпливчастою, оскільки ці проблеми, як правило, виникають незалежно):

${\cal D}$$\Gamma\vdash t:A$${\cal D}'$$\Gamma \vdash A:s$$s$$u\leq t$$B$$\Delta$$\cal D''$$\Delta\vdash u:B$

Цей приємний факт дещо важко довести і компенсувати досить неприємним протилежним фактом:

Факт 2: Загалом, і не є підпохідними !$\cal D'$$\cal D''$ D$\cal D$

Це трохи залежить від точного формулювання системи вашого типу, але більшість "оперативних" систем, реалізованих на практиці, задовольняють Факт 2.

Це означає, що ви не можете "перейти до підрядів", коли міркуєте індукцією на похідні, або не зробите висновок, що індуктивне твердження вірно щодо типу терміна, про який ви намагаєтесь щось довести.

Цей факт кусає вас досить різко, намагаючись довести начебто невинні твердження, наприклад, що системи з типовим перетворенням еквівалентні системам з нетипізованим перетворенням.

Однак у випадку умовиводу типу можна одночасно надати алгоритм виводу типу і сортування (тип типу) шляхом індукції на структуру терміна, який може включати алгоритм, керований типом, як пропонує Андрій. Для даного терміна (і контексту ви або не вдається, або знайдете таким, що і . Для пошуку останнього не потрібно використовувати індуктивну гіпотезу виведення, і, зокрема, ви уникаєте проблеми, поясненої вище.$t$$\Gamma$$A, s$$\Gamma\vdash t:A$$\Gamma\vdash A : s$

Найважливіший випадок (і єдиний випадок, який дійсно вимагає конверсії) - це застосування:

infer(t u):
   type_t, sort_t <- infer(t)
   type_t' <- normalize(type_t)
   type_u, sort_u <- infer(u)
   type_u' <- normalize(type_u)
   if (type_t' = Pi(A, B) and type_u' = A' and alpha_equal(A, A') then
      return B, sort_t (or the appropriate sort)
   else fail

Кожен заклик до нормалізації робився на чітко набраних умовах, оскільки це є інваріантом inferуспіху Росії.

До речі, під час його реалізації у Coq немає перевірки типових рішень, оскільки вона нормалізує тіло fixвисловлювань, перш ніж намагатися їх перевірити.

У будь-якому випадку, межі нормальних форм чітко набраних термінів настільки астрономічні, що теорема про визначення в будь-якому разі в основному є академічною. На практиці ви запускаєте алгоритм перевірки типу стільки, скільки маєте терпіння, і спробуйте інший маршрут, якщо він до цього часу не закінчився.