Найвідоміші асимптотичні розміри PCP / 3-SAT

Які найвідоміші асимптотичні верхні межі щодо розмірів вірогідних доказів? В ідеалі я шукаю сучасне опитування з цього широкого питання, але якщо такого немає, мене особливо цікавить непереборність 3-SAT.

Нехай 7/8 + ε-3-SAT буде 3-SAT з обіцянкою, що якщо 7/8 + ε частка пропозицій є задоволеною, то екземпляр є задоволеним. Які найвідоміші скорочення 3-SAT з клавішами до 7/8 + ε-3-SAT? Наприклад, чи є скорочення за допомогою пунктів ? ( пункти - це відкрита проблема.) Зменшення рівномірного квазілінійного розміру NC? Яка залежність від , в тому числі, коли ? Чи є відоме лінійне розмір (залежне від ) зменшення (1-ε) -3-SAT до 7/8 + ε-3-SAT, і якщо ні, то чи маємо кращі межі для (1-ε) -3 -САТ? Навіть часткова відповідь була б цікава. $n$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $ε$ $ε→0$ $ε$

Крім того, хоча це, можливо, зробить питання занадто широким, я мушу зазначити, що ще одним важливим питанням є постійні фактори, які завдяки таким методам, як довгий код, як правило, незрівнянно великі.

— Дмитро Тарановський
джерело

Найсучаснішими для PCP, які призводять до зниження 3-SAT (навіть для субконстанти ), є Дана Мошковіц і Ран Раз , які мають довжину . Однак я не знаю, чи намагався хтось обчислити точну залежність довжини від або складність обчислення скорочення. Їх головний технічний результат пізніше спростили Ірит Дінур та Прахлад Гарша . $(\frac{7}{8}+\varepsilon)$ $\varepsilon$ $n^{1 + o(1)}$ $\varepsilon$

Якщо вас цікавлять короткі PCP з постійною кількістю запитів, які не обов'язково дають оптимальні скорочення твердості наближення (відомі також як "PCP з високою помилкою"), то найсучаснішим результатом є PCP довжиною завдяки Елі Бен-Сассону та Мадху Судану та його вдосконаленню Дінуром . Знову ж таки, я не знаю, чи є у кого точна складність обчислення скорочення. $n\cdot \mathrm{poly}\log n$

— Або Мейр
джерело

Дякую; обидві частини були корисними. Я вважаю, що PCP квазілінійного розміру з запитами O (1) та постійною помилкою залишається відкритою проблемою.

— Дмитро Тарановський

Ні, це насправді випливає з роботи Бен-Сассона та Судана. Отримати такі PCP з субстантной помилкою є відкритою проблемою.

— Або Меїр

Я ще раз подивився, і Dinur 2007 продовжує документ, який ви цитували у другому абзаці, щоб показати . Якщо я правильно розумію, це означає зменшення 3-SAT до деякого квазілінійного розміру 3-SAT, але результат, який ви цитували в першому абзаці, не є надмірним, оскільки він дає нам 7/8 і більше.

S A T \in P C P_{\frac{1}{2}, 1} [\log_{2} n + O (\log \log n), O (1)]

$SAT ∈ PCP_{\frac{1}{2},1}[\log_2 n + O(\log \log n), O(1)]$

1 - ε

$1-ε$

7 / 8 + ε

$7/8+ε$

— Дмитро Тарановський

Так, це правильно. Я забув згадати результат Дінура, додам його до відповіді.

— Або Меїр