Спеціальний клас мов: «кругові» мови. Чи відомо?

Визначте наступний клас "кругових" мов над кінцевим алфавітом Sigma. Власне, назва вже існує для позначення іншої речі, яку, здається, використовується в галузі обчислення ДНК. AFAICT, це інший клас мов.

Мова L - круговий iff для всіх слів у , ми маємо:w Σ $w$$\Sigma^*$

$w$ належить L, якщо і тільки якщо для всіх цілих чисел $k > 0$ , $w^k$ належить L.

Чи відомий цей клас мов? Мене цікавлять кругові мови, які також є регулярними, зокрема:

• ім'я для них, якщо вони вже відомі

• вирішення проблеми, з огляду на автоматику (зокрема: DFA), чи підкоряється прийнята мова вищенаведеному визначенню

У першій частині ми покажемо експоненціальний алгоритм вирішення циркулярності. У другій частині ми показуємо, що ця проблема є важкою для coNP. У третій частині ми показуємо, що кожна кругова мова є об'єднанням мов форми r + (тут r може бути порожнім регулярним виразом); союз не обов'язково є нерозбірливим. У четвертій частині ми демонструємо кругову мову, яка не може бути записана як суперечлива сума ∑ r + i .$r^+$$r$$\sum r_i^+$

Редагувати: Включено деякі виправлення після коментарів Марка. Зокрема, мої попередні твердження, що циркулярність є coNP-повною або NP-жорсткою, виправляються.

Редагувати: виправлена ​​нормальна форма з ∑ r ∗ i в∑r + i . Виставляли "по своїй суті неоднозначну" мову.$\sum r_i^*$$\sum r_i^+$

Продовжуючи коментар Пітера Тейлора, ось як вирішити (вкрай неефективно), чи є мова круговою, враховуючи її DFA. Створіть нову DFA, стани якої n - пар старих. Цей новий DFA паралельно виконує n копій старого DFA.$n$$n$

Якщо мова не кругла, то є слово w таке, що якщо ми повторимо його через DFA кілька разів, починаючи з початкового стану s 0 , то отримаємо стани s 1 , … , s n такі, що s 1 приймає, але одне з інших не приймає (якщо всі вони приймають, то послідовність s 0 , ... , s n повинна кругообігу, щоб w ∗ завжди був у мові). Іншими словами, у нас є шлях від s 0 , … , s $w$$s_0$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$$s_0,\ldots,s_n$$w^*$- від 1 до s 1 ,…, s n, де s 1 приймає, але один з інших не приймає. І навпаки, якщо мова кругла, то цього не може статися.$s_0,\ldots,s_{n-1}$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$

Тож ми звели проблему до простого спрямованого тесту на доступність (просто перевірте всі можливі «погані» n- пар).$n$

Проблема циркулярності є coNP-жорсткою. Припустимо, нам дають екземпляр 3SAT з n змінними → x та m , C 1 , … , C m . Ми можемо припустити, що n = m (додавання фіктивних змінних) і що n є простим (інакше знайти просте між n і 2 n за допомогою тестування первинності AKS, і додати фіктивні змінні та пропозиції).$n$$\vec{x}$$m$$C_1,\ldots,C_m$$n = m$$n$$n$$2n$

Розглянемо наступну мову: "вхід не має форми → x 1 ⋯ → x n, де → x i - задовольняюче завдання для C i ". Побудувати O ( n 2 ) DFA для цієї мови легко . Якщо мова не кругла, то в мові є слово w , деякої сили якого немає в мові. Оскільки єдині слова, які не є в цій мові, мають довжину n 2 , w має бути довжиною 1 або n . Якщо вона довжини$\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$$\vec{x}_i$$C_i$$O(n^2)$$w$$n^2$$w$$1$$n$1 , розглянемозамість w n (воно все ще в мові), так що w є в мові, а w n - не в мові. Те, що w n немає у мові, означає, що w - задовольняюче завдання.$1$$w^n$$w$$w^n$$w^n$$w$

І навпаки, будь-яке задовольняє завдання перекладається на слово, що підтверджує некруговість мови: задовольняюче завдання w належить до мови, але w n - ні. Таким чином, мова є круговою, якщо екземпляр 3SAT незадовільний.$w$$w^n$

У цій частині ми обговорюємо нормальну форму для кругових мов. Розглянемо деякий DFA для кругового мови L . Послідовність З = С 0 , ... є реальним , якщо С 0 = s (початковий стан), всі інші держави беруть і С я = С J означає C я + 1 = С J + 1 . Таким чином, кожна реальна послідовність зрештою є періодичною, і існує лише безмежно багато реальних послідовностей (оскільки DFA має кінцево багато станів).$L$$C = C_0,\ldots$$C_0 = s$$C_i = C_j$$C_{i+1} = C_{j+1}$

Ми говоримо, що слово поводиться відповідно до $C$ якщо слово приймає DFA зі стану c i в стан c i + 1 , для всіх i . Набір усіх таких слів E ( C ) є регулярним (аргумент подібний до першої частини цієї відповіді). Зауважимо , що Е ( С ) представляє собою підмножина L .$c_i$$c_{i+1}$$i$$E(C)$$E(C)$$L$

Давши реальну послідовність C , визначте, що C k є послідовністю C k ( t ) = C ( k t ) . Послідовність C k також реальна. Оскільки існує лише кінцево багато різних послідовностей C k , мова D ( C ), яка є об'єднанням усіх E ( C k ) , також є регулярною.$C$$C^k$$C^k(t) = C(kt)$$C^k$$C^k$$D(C)$$E(C^k)$

Ми стверджуємо, що D ( C ) має властивість, що якщо x , y ∈ D ( C ), то x y ∈ D ( C ) . Справді, припустимо, що x ∈ C k і y ∈ C l . Тоді x y ∈ C k + l . Таким чином, D ( C ) = D ( C ) + можна записати у формі $D(C)$$x,y \in D(C)$$xy \in D(C)$$x \in C^k$$y \in C^l$$xy \in C^{k+l}$$D(C) = D(C)^+$+ для деякого регулярного виразу r .$r^+$$r$

Кожне слово w у мові відповідає деякій реальній послідовності C , тобто існує реальна послідовність C, яка w поводиться відповідно до. Таким чином , L є об'єднанням D ( C ) в протягом всього дійсної послідовності C . Тому кожна кругова мова має подання форми ∑ r + i . І навпаки, кожна така мова є круговою (тривіально).$w$$C$$C$$w$$L$$D(C)$$C$$\sum r_i^+$

Розглянемо кругової мову L всіх слів над , б , які містять або парне число або «и або парне число б » и (або обидва). Ми показуємо, що вона не може бути записана як непересічна сума ∑ r + i ; Під "неперервним" ми маємо на увазі, що r + i ∩ r + j = ∅ .$L$$a,b$$a$$b$$\sum r_i^+$$r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$

Нехай N i - розмір деякої DFA для r + i , а N > max N i - якесь непарне ціле число. Розглянемо x = a N b N ! . Оскільки x ∈ L , x ∈ r + i для деяких i . За насосним леми, можна накачати префікс х довжин не більше N . Таким чином, r + i породжує z = a N $N_i$$r_i^+$$N > \max N_i$$x = a^N b^{N!}$$x \in L$$x \in r_i^+$$i$$x$$N$$r_i^+$ b N ! . Аналогічно, y = $z = a^{N!} b^{N!}$$y = a^{N!} b^N$ is generated by some $r_j^+$, which also generates $z$. Note that $i \neq j$ since $xy \notin L$. Thus the representation cannot be disjoint.

Ось кілька робіт, які обговорюють ці мови:

Тьєррі Качат, Сила раціональних мов з однієї літери, DLT 2001, Springer LNCS № 2295 (2002), 145-154.

С. Говат, П. Лепольд і Г. Лішке, Коріння і повноваження звичайних мов, DLT 2002, Springer LNCS № 2450 (2003), 220-230.

Х. Бордін, Безперервність сили без контекстних мов не можна визначити, TCS 314 (2004), 445-449.

@Dave Clarke, L = a*|b* would be circular, but L* would be (a|b)*.

In terms of decidability, a language $L$ is circular if there is an $L'$ such that $L$ is the closure under + of $L'$ or if it is a finite union of circular languages.

(I'm dying to redefine "circular" replacing your $>$ with $\ge$. It simplifies things a lot. We can then characterise the circular languages as those for which there exists a NDFA whose starting state has only epsilon-transitions to accepting states and has an epsilon-transition to each accepting state).

Редагувати: Нижче відображається повний (спрощений) доказ повноти PSPACE.

Два оновлення. По-перше, нормальна форма, описана в моїй іншій відповіді, з'являється вже в роботі Калбрікса і Нівату під назвою Префікс і періодичні мови раціональних ω -язиків$\omega$ , на жаль, недоступні в Інтернеті.

Second, deciding whether a language is circular given its DFA is PSPACE-complete.

Circularity in PSPACE. Since NPSPACE=PSPACE by Savitch's theorem, it is enough to give an NPSPACE algorithm for non-circularity. Let $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ be a DFA with $|Q|=n$ states. The fact that the syntactic monoid of $L(A)$ has size at most $n^n$ implies that if $L(A)$ is not circular then there is a word $w$ of length at most $n^n$ such that $w \in L(A)$ but $w^k \notin L(A)$ for some $k \leq n$. The algorithm guesses $w$ and computes $\delta_w(q) = \delta(q,w)$ for all $q \in Q$, using $O(n\log n)$ space (used to count up to $n^n$). It then verifies that $\delta_w(q_0) \in F$ but $\delta_w^{(k)} \notin F$ for some $k \leq n$.

Circularity is PSPACE-hard. Kozen showed in his classic 1977 paper Lower bounds for natural proof systems that it is PSPACE-hard to decide, given a list of DFAs, whether the intersection of the languages accepted by them is empty. We reduce this problem to circularity. Given binary DFAs $A_1,\ldots,A_n$, we find a prime $p \in [n,2n]$ and construct a ternary DFA $A$ accepting the language

Every $s \in L$ of length $p>0$ can be written as $xy^{i}z$ where $x = z = \epsilon$ , $y = w \neq \epsilon$ . It's obvious that $|xy| \leq p$ and $|y| = |w| > 0$. It follows that the language is regular for non-empty inputs, by the pumping lemma.

For $w= \epsilon$ , the definition holds, since a NDFA that accepts the empty string will also accept any number of empty strings.

The union of the above languages is the language L and since regular languages are closed under union, it follows that every circular language is regular.

By Rice's theorem, $CIRCULARITY/TM$ is undecidable. The proof is similar to regularity.