Чи можна ефективно рівномірно відібрати сусід вершини на графіку багатогранника?

У мене є багатогранник визначений .$P$$\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

Питання: З огляду на , вершина з , існує поліноміальний алгоритм час рівномірно зразка від сусідів в графі ? (Поліном у вимірі, кількість рівнянь та представлення . Я можу припустити, що кількість рівнянь є поліномом у розмірі.)$v$$P$$v$$P$$b$

Оновлення: Я думаю, мені вдалося показати, що це важко для NP, дивіться мою відповідь, яка пояснює аргумент. (І під -hard, я маю на увазі, що алгоритм поліноміального часу довів би ... не впевнений, яка тут правильна термінологія.)$NP$$RP = NP$

Оновлення 2: Існує дворядковий доказ міцності (з урахуванням правильного комбінаторного багатогранника), і я зміг знайти його статтю Хачіяна. Дивіться відповідь для опису та посилання. :-D$NP$

Еквівалентна проблема :

У коментарі Петро Шор зазначив, що це питання рівнозначне питанню, чи можна рівномірно вибирати з вершин даного багатогранника. (Я думаю, що еквівалентність йде так: В одному напрямку ми можемо перейти від багатогранника з вершиною до фігури вершини на , , а вибірка вершин еквівалентна вибірці сусідів на У іншому напрямку ми можемо перейти від багатогранника до багатогранника одного вищого виміру, додавши конус з вершиною і основою потім відібравши вибірку сусідів$P$$v$$v$$P/v$$P/v$$v$$P$$P$$Q$$v$$P$$v$Q P в еквівалентно вибірці вершин ).$Q$$P$

Цю постановку питання задавали раніше: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

Редагування 2: Збентежено, є два рядкові докази твердості , якщо починати з правильного політопа.$NP$

По-перше, згадайте циркуляційний політоп графа в нижній частині сторінки 4 Створення всіх вершин багатогранника важко .

Її вершини знаходяться в біективній відповідності з направленими простими циклами. Тому їх важко відібрати або підрахувати за пропозицією 5.1 . :-D

Оснащений цими ключовими словами, мені вдалося знайти твердість вибіркового результату як теорема 1 поперечних гіперграфів та сімейств багатогранних конусів Хачіяна.

Редагувати: Я записав аргумент нижче, і він здається правильним. Однак є набагато простіший аргумент, який я викладу тут:

a) Аналізуючи алгоритми зворотних треків для переліку всіх вершин і всіх граней опуклого багатогранника (Фукуда та ін.), важко вирішити наступну проблему на політопах:

Введення: Політоп в підмножина$Ax = b , x \geq 0$$\mathbb{R}^n$$S \subseteq n$

Висновок: чи існує вершина з , яка відмінна від нуля на кожній з координат в .$v$$P$$S$

б) Враховуючи це, можна зробити таку побудову: ввести нові змінні для і та ввести нерівність . Викличте отриманий політоп . Суть цієї конструкції полягає у введенні над кожною вершиною гіперкуба розмірності.$y_{ik}$$i \in S$$k = 1, \ldots, d$$0 \leq y_{ik} \leq x_i$$P_{S,d}$$d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$$supp$

$d$$P_{S,d}$$S$

Здається, це є різні розширення. Я буду оновлювати посилання, коли написання закінчиться.

(Раніше тут був старий аргумент - він є в історії редагування. Я його видалив, тому що він дуже довгий і заважатиме знайти правильну відповідь на питання.)