Технічна проблема із підтвердженням теореми PCP

Я читаю доказ звідси і натрапив на технічну (але вирішальну) проблему. Я знаю, що це досить специфічно, і контекст є проблематичним, але я не міг сам це зрозуміти.

На сторінках 51 і 55 після подання "стандартних" верифікаторів вони звертаються до модифікацій верифікаторів з метою перевірки розділених завдань.

У першому випадку (стор. 51) вони перевіряють, що є -закриттям поліноміального коду, а потім використовують алгебраїзацію (+ нульові тестери) для побудови сімейства поліномів (із сумою- Перевірте властивість, пов’язану з формулою введення), що кожне може бути оцінено в точці, заданій 3 значеннями кожного з (кодові слова шафи полінома коду до ). $f_1,\dots,f_k$ $0.01$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f_1,\dots,f_k$

У другому випадку (стор. 55) вони перевіряють, що є -закритими, щоб бути лінійними, і тоді вони визначають функцію як спеціальну суму таким чином, що може бути оцінено у точці заданих значень кожного з (лінійні функції закриваються на ). $f_1,\dots,f_k$ $0.01$ $f$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f$ $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ $f_1,\dots,f_k$

Тоді в обох випадках вони виконують тести (Sum-Check або Tensor + Hadamard) на значення випадкового многочлена в сім'ї / . $\widetilde{f}$

Моя проблема полягає в тому, що процедура реконструкції необхідних значень кожного з може надати неправильні значення з деякою незначною постійною ймовірністю . Більше того, ймовірність того, що всі значення реконструйовані правильно, дуже мала, лише для деякої постійної . І це справедливо для обох випадків. $\widetilde{f}_i$ $c^k$ $c$

Це може бути погано, оскільки деякі етапи перевіряючих вимагають для отримання значень цільової функції / поліном від сімейства whp $f$

Отже, нам потрібно посилити ймовірність успіху, повторно використовуючи "алгебраїчну процедуру відновлення" кілька разів для кожного . $O(\log k)$ $\widetilde{f}_i$

Тепер це означає, що вибух у складності запиту підпрограми (відносно складності запитів у вихідних верифікаторів) трохи більший за , тобто це (на відміну від "гарантований" - "бажаний" вибух у твердженні теорем). $k$ $O(k\log k)$ $O(k)$

Це проблема чи я щось пропускаю (що я, мабуть, є)?

cc.complexity-theory pcp

— Дон Фануччі
джерело

Вибачте, якщо це повинно бути очевидним, але де твердження теорем із запитом ? На основі побічного читання здається, є будь-яким фіксованим постійним цілим числом (чи не так?).

O (k)

$O(k)$

k

$k$

— Климент К.

@ClementC. Подивіться на визначення, що пронумеровані 3,2 та 3,3, у поєднанні з рекурсійною лемою після цього (і найважливішим є його підтвердження). Зауважте, що єдине місце, де використовується здатність звичайної перевіряючої форми перевіряти розділені завдання, - це доказ лемми про склад (насправді, в будь-якому іншому місці це "велика відповідальність", з якою потрібно мати справу, будуючи верифікатори). Там, у доказі, взагалі не є константою.

k

$k$

— Дон Фануччі

Справедливо, він використовується для . Однак для використання у доведенні теореми PCP у слідстві 3.3 та теоремі 3.5, проте , тому (незалежно від того, чи повинен бути цей додатковий справді тут чи ні), це дійсно є постійною.

p = Q (n)

$p=Q(n)$

Q (n) = 1

$Q(n)=1$

\log k

$\log k$

— Климент К.

@ClementC. Дякую, ви праві, що коли ми використовуємо склад, ми використовуємо постійний .

p

$p$

— Дон Фануччі

Складність запитів, що використовується в цій роботі, становить та . $O(1)$ $O(poly(logn))$

Для леми 3.1 є зауваження, що застосовувана складність запиту - . $O(1)$

Якщо питання полягає в тому, як лема 3.1 узагальнює до непостійної складності запиту, це справді представляє проблему поза . $O(poly(f(n)))$

Цю проблему вирішують шляхом складання верифікатора, який зменшує складність запиту до (лема 4.4). $O(1)$

— Лем н
джерело