Трудність знайти слово довжини не більше

Постановка проблеми :

Дозволяє $M$ бути (потенційно недетермінованим) автоматичним натисканням та пускати $\cal A$бути його вхідним алфавітом. Чи є слово$w \in \cal A^*$ вул $|w| \leq k$ що прийнято $M$ ?

Чи не завершена ця проблема NP? Це було вивчено? Чи існує алгоритм, що дозволяє знайти таке слово?

Обчисліть перетин вашої мови CFG із звичайною мовою $\sum_{i=0}^k A^k$ (це означає множення кількості штатів на $k$і додавання стану "тупикової точки"). Тепер перевірте, чи результат порожній: перетворіть у граматику (я думаю, що результат матиме поліноміальний розмір) та "зволікайте" з виробництва epsilon.

Редагувати: Каве згадував, що це багаточлен $k$, так що якщо $k$ задається як вхід, алгоритм експоненціальний в $|k|$. Однак Каве знайшов спосіб це виправити. Перетворіть оригінальний автомат у CFG та замініть всі клеми фіксованим терміналом. Тепер використовуйте ітеративний алгоритм, щоб знайти мінімальний розмір слова, згенерованого кожним нетермінальним, наступним чином.

Ініціалізуйте всі довжини за допомогою $\infty$, а потім ітераційним чином оновлювати всі довжини очевидним способом: задано виробництво $A \rightarrow a^t \prod B_i$ (порядок не має значення), постав $f(A) = \min(f(A),t+\sum f(B_i))$. Претензія: це сходить в$O(n)$ ітерації, де $n$- кількість нетерміналів. Причина полягає в тому, що в дереві, що генерує слово мінімальної довжини, жоден нетермінал не використовується двічі; кожен "край" бере щонайменше одну ітерацію для обробки (деякі краї можна "оновлювати" паралельно).

Змініть усі символи алфавіту на один конкретний символ. Тепер у вас визначено КПК для одного символу. Його мова - граматика без контексту. Однак контекстна граматика над одним символом є регулярною. Отже, перетворіть CFG в звичайну мову і перевірте, чи містить він слово довжиною k.

Тепер усі ці перетворення, як правило, вимагають експоненціального часу, але мені здається малоймовірним, що проблема не завершена. Особливо, якщо ви допускаєте час полінома в$k$.

Я можу помилятися, і прошу вибачення за свою первинну прискіпливу відповідь ...

До речі, те, що CFG над однією буквою є регулярною, випливає з теореми Паріха. Хоча прямий доказ не надто важкий. Детальніше про теорему Париха див. За посиланням - це прекрасний результат ... http://www8.cs.umu.se/kurser/TDBC92/VT06/final/3.pdf

Напевно, неоптимальний метод: Запустіть алгоритм Джикстра. Потім для кожного кінцевого стану порівняйте відстані$k$. Якщо такі є$\leq k$, прийняти. Відхилити.

РЕДАКТУВАННЯ: Наведене вище працює лише для НФА! Вибач за те.