Обчислення будь-якої інформації про Max-3SAT

Для формули 3CNF нехай буде максимальне число задоволених положень в будь-якому присвоєння . Відомо, що Max-3SAT важко наблизити (залежно від P ≠ NP), тобто немає політайм-алгоритму, вхід якого є формулою 3CNF , а вихід якого є числом таким, що знаходиться в межах a мультиплікативний коефіцієнт від , де - абсолютна позитивна константа.C M ( C ) $C$$M(C)$$C$$C$$M'$$M(C)$$1+c$$M'$$c>0$

Я вважаю, що також NP-важко обчислити для будь-якого постійного модуля . Цікаво, чи справедливо наступне загальне узагальнення цих двох фактів: Не існує політомічного алгоритму, вхідним сигналом якого є формула 3CNF з застереженнями, а рядок рекомендаційних бітів, а вихід якого . Тут - абсолютна константа. Простими словами, не існує алгоритму, який обчислює бітів інформації .M ( C ) mod p p C N log 2 N - $M(C) \bmod p$$p$$C$$N$$\log_2 N-B$$M(C)$$B$$B$$M(C)$

Прошу вибачення, якщо на питання є відома відповідь, бо я не теоретик складності за фоном.

Ось аргумент, що якби ви могли розв’язати Max 3SAT на екземплярі m-clause, даючи постійну кількість бітів порад, тоді поліномальна ієрархія руйнується.

Виправіть NP-повну задачу L. З теореми Кука ми знаємо перетворення f () входів x для L у формули 3SAT f (x), так що

1) якщо x ∈ L, тоді M ( f ( x ) ) = $x\in L$$M(f(x)) = m$

2) якщо x ∈ L, тоді M ( f ( x ) ) = m - $x\in L$$M(f(x)) = m-1$

де m - кількість пропозицій у f ( x ) .$m$$f(x)$

У нас також є теорема Кадіна, яка говорить про те, що якщо задано k входи x 1 , … , x k NP-повної задачі, у вас є алгоритм багаточленного часу, який робить ≤ k - 1 запитів до оракула NP і визначає правильна відповідь на k NP задачі x i ∈ ? L , тоді поліномальна ієрархія руйнується.$k$$x_1,\ldots,x_k$$\leq k-1$$k$$x_i \in ? L$

Припустимо, у нас є алгоритм, який розв'язує Max SAT на входах m-clause, надаючи k біт поради. Результатом Хастада ми скористаємося для побудови алгоритму, як у приміщенні теореми Кадіна.

Почати з K = 2 K + 1 входів х 1 , ... , х K до задачі L . Застосуйте теорему Кука до кожної з них. Після деякої нормалізації (що може бути зроблено шляхом присвоєння ваги пунктам або дублювання їх, якщо ми не хочемо використовувати ваги), ми побудуємо K формули F 1 , … , F K де для певного m :$K=2^k+1$$x_1,\ldots,x_K$$L$$K$$F_1,\ldots,F_K$$m$

1) M ( F 1 ) = m - 1, якщо x 1 ∈ L і M ( F 1 ) = m - $M(F_1)= m-1$$x_1 \in L$$M(F_1) = m-2$ іншому випадку

2) M ( F 2 ) = m ⋅ ( m - 1 ), якщо x 2 ∈ L і M ( F 2 ) = m ⋅ ( m - 2 $M(F_2) = m\cdot (m-1)$$x_2 \in L$$M(F_2) = m\cdot (m-2)$ іншому випадку

...

k) M ( F K ) = m K - 1 ⋅ ( m - 1 ), якщо x K ∈ L і M ( F K ) = m K - 1 ⋅ ( m - 2 ) інакше$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$$x_K\in L$$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

Тепер візьмемо об'єднання формул, які були побудовані більше непересічних множин змінних, і назвати його F . Отже, у нас є M ( F ) = M ( F 1 ) + ⋯ + M ( F k ) , і ми можемо "прочитати" відповідь на K задачі x i ∈ ? Л , дивлячись на база - м поданні M ( F ) . Якщо ми можемо обчислити M ( F ), заданий $F$$M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$$K$$x_i \in? L$$m$$M(F)$$M(F)$$k$поради, це означає, що ми можемо знайти значення 2 k таким, що одне з них M ( F ) . Потім ми можемо неадаптивно запитати NP-оракул, чи буде M ( F ) ≥ n i для кожного із заданих значень n 1 , … , n 2 k, які ми створили. Таким чином, нам вдалося вирішити 2 k + 1 випадки NP-повних завдань, зробивши 2 $2^k$$M(F)$$M(F) \geq n_i$$n_1,\ldots,n_{2^k}$$2^k+1$$2^k$ неадаптивні запити до NP-оракула, що означає, що поліноміальна ієрархія руйнується.

Використовуючи теорему Хастада замість теореми Кука, можна висунути розмір F до O ( 1 ) k ⋅ m замість m k , так що можна натиснути k на log m , а кількість порад бітів для log log m . Зрозуміти, що трапляється, коли вам дають журнал m - O ( 1 ) поради, здається, справді важко.$F$$O(1)^k \cdot m$$m^k$$k$$\log m$$\log\log m$$\log m - O(1)$

Відредаговано, щоб додати: Крентел ( Складність проблем оптимізації . J. Comput. Syst. Sci. 36 (3): 490-509 (1988) ) довів, що обчислення значення оптимуму задачі максимальної кліки є повним для F P N P [ O ( l o g n ) ] , клас функцій, що обчислюється в поліноміальний час з O ( l o g n ) запитами до NP oracle. Повнота знаходиться під "скороченням одного запиту", в якому функція f зводиться до функції g, якщо можна записати f ( x ) = $FP^{NP[O(log n)]}$$O(log n)$ 1( g ( r 2 ( x ) ) для обчислюваних поліномів часу r 1 і r 2. Імовірно, те саме стосується Макса Кліка. Тепер, якби Макс Клік мав алгоритм багаточленного часу, який створює списокможливих значень m o ( 1 ) , це було б у F P N P [ o ( l o g n ) $f(x) = r_1(g(r_2(x))$$r_1$$r_2$$m^{o(1)}$$FP^{NP[o(logn)]}$ , тому що ви можете використовувати двійковий пошук, щоб знайти оптимальну кількість запитів, що є журналом розміру списку.

Тепер, якщо у нас є F P N P [ O ( l o g n ) ] = F P N P [ o ( l o g n ) ], ми б точно мали P N P [ O ( l o g n ) ] = P N P [ o ( l o g n ) $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$$P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$, що є особливим випадком проблем вирішення, і, як відомо, за результатами Вагнера (поліпшення результату Кадіна, що стосується постійної кількості запитів), щоб зруйнувати ієрархію поліномів. Але я думаю, що може бути відомо, що $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$ насправді означатиме P = NP. Але в будь-якому випадку результатів Крентел та Кадін-Вагнера має бути достатньо, щоб дати ще одне підтвердження результату Енді Друкера. Тепер мені цікаво, чи це насправді той самий доказ, тобто якщо результат Fortnow-Van Melkebeek працює, явно чи неявно, через аргумент "моделювання NP-запитів із меншою кількістю запитів NP".

Хороший опитувальний документ, який пояснює, що відбувається з проблемами оптимізації та обмеженими класами запитів:

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

I would like to state one reason why proving the NP-hardness of this problem is difficult.

In a comment on the question, Luca Trevisan gave a nice way to restate the problem: Is the following problem solvable in polynomial time for every constant k? Given a CNF formula C with m clauses, output at most m/k integers so that one of them is equal to M(C). Here k is related to B by k=2^B.

However, let’s demand more. Namely, we consider the following problem: given a CNF formula C, output two integers so that one of them is equal to M(C). We denote this problem by Π. The problem Π is at least as difficult as the original problem, so if the original problem is NP-hard, Π must also be NP-hard.

Note that Π is a relation problem. One of the simplest kinds of reductions that can be used to reduce some problem L to a relation problem Π is a polynomial-time Levin reduction, which is a special case of a polynomial-time Turing reduction where the reduction calls the oracle for Π only once.

We claim that P^Π[1]=P. This obviously implies that NP⊈P^Π[1] unless P=NP, that is, Π is not NP-hard under polynomial-time Levin reducibility unless P=NP.

Proof. Let L∈P^Π[1], or in other words, there exists a Levin reduction from L to Π. This means that there exists a pair (f, g) of a polynomial-time computable function f: {0,1}^*→{0,1}^* which maps each instance x of the problem L to some CNF formula f(x) and a polynomial-time computable predicate g: {0,1}^*×ℕ×ℕ→{0,1} such that g(x, i, j) = L(x) if either i or j is equal to M(f(x)). (Here L(x)=1 if x is a yes-instance of L and L(x)=0 if x is a no-instance.)

We construct a polynomial-time algorithm for L from this as follows. Let x be an input.

1. Let C=f(x), and let m be the number of clauses in C.
2. Find one i ∈ {0,…,m} such that the value g(x, i, j) is constant independent of j ∈ {0,…,m}.
3. Output this constant g(x, i, 0).

In the step 2, such i always exists because i=M(f(x)) satisfies the condition. Moreover, this algorithm cannot output a wrong answer because g(x, i, M(f(x))) must be the correct answer. Therefore, this algorithm solves L correctly. QED.

If I am not mistaken, the same idea can be used to prove that P^Π[k(n)]⊆DTIME[n^O(k(n))]. This implies that NP⊈P^Π[k] for any constant k unless P=NP and that NP⊈P^Π[polylog] unless NP⊆DTIME[2^polylog]. However, this idea alone does not seem to rule out the possibility that Π is NP-hard under polynomial-time Turing reducibility.

I believe that we can show:

Claim. There's a value $0 < c < 1$ such that the following is true. Suppose there's a deterministic poly-time algorithm that, given an $m$-clause 3-SAT instance $\phi$, outputs a list $S$ of at most $m^c$ values, such that $M(\phi) \in S$; then the polynomial hierarchy collapses.

The proof uses Fortnow and Santhanam's results on infeasibility of instance compression from their paper http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Specifically, by looking at their proof of Thm 3.1, I believe one can extract the following (I will re-check this soon):

"Theorem" [FS]. There are integers $0 < d' < d$ such that the following is true. Suppose in deterministic poly-time, one can transform an OR of $n^d$ Boolean formulas (each of length $\leq n$, and on disjoint variable-sets) into an OR of $n^{d'}$ formulas (again variable-disjoint and of length $\leq n$), preserving satisfiability/unsatisfiability of the OR. Then $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$ and the polynomial hierarchy collapses.

The proof of our claim will be a reduction from the OR-compression task mentioned in the above theorem[FS], to the problem of list-computing $M(\phi)$. Suppose $\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$ is a list of formulas whose OR we want to compress.

First step: define a polynomial-size circuit $\Gamma$ on input strings $(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$. Here the string $y_i$ encodes an assignment to $\psi_i$, and $v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$ encodes a number between $0$ and $n^d$.

We have $\Gamma$ accept iff either $v = 0$, or $\psi_v(y_v) = 1$.

Now let $M^*(\Gamma)$ denote the maximum value $v$, such that the restricted circuit $\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$ is satisfiable. (This quantity is always at least 0).

Suppose we can efficiently produce a list $S$ of possible values for $M^*(\Gamma)$. Then the claim is that in our list $\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$, we can throw away all $\psi_i$ for which $i \notin S$; the resulting list contains a satisfiable formula iff the original one did. I hope this is clear by inspection.

Conclusion: we can't reliably produce a list $S$ of $\leq n^{d'}$ possible values for $M^*(\Gamma)$, unless the poly hierarchy collapses.

Second Step: We reduce from the problem of list-computing $M^*(\Gamma)$ to that of list-computing $M(\phi)$ for 3-SAT instances $\phi$.

To do this, we first run Cook's reduction on $\Gamma$ to get a 3-SAT instance $\phi_1$ of size $m = poly(n^d)$. $\phi_1$ has the same variable-set as $\Gamma$, along with some auxiliary variables. Most important for our purposes, $\phi_1(v, \cdot)$ is satisfiable iff $\Gamma(v, \cdot)$ is satisfiable.

We call $\phi_1$ the `strong constraints'. We give each of these constraints weight $2m$ (by adding duplicate constraints).

Then we add a set of `weak constraints' $\phi_2$ which add a preference for the index $v$ (defined in step 1) to be as high as possible. There is one constraint for each bit $v_t$ of $v$, namely $[v_t = 1]$. We let the $t$-th most significant bit of $v$ have a constraint of weight $m/2^{t-1}$. Since $v$ is of length $d \log n + 1$, these weights can be made integral (we just need to pad to let $m$ be a power of 2).

Finally, let $\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$ be the output of our reduction.

To analyze $\phi$, let $(v,z)$ be the variable-set of $\phi$, with $v$ as before. First note that given any assignment to $(v, z)$, one can infer the value of $v$ from the quantity $N(v, z) =$ (total weight of $\phi$-constraints satisfied by $v, z$).
This follows from the hierarchical design of the constraint-weights (similarly to a technique from Luca's answer). Similarly, the maximum achievable value $M(\phi)$ is achieved by a setting $(v, z)$ that satisfies all strong constraints, and where (subject to this) $v$ is as large as possible. This $v$ is the largest index for which $\Gamma(v, \cdot)$ is satisfiable, namely $M^*(\Gamma)$. (Note, it is always possible, by setting $v =$ all-0, to satisfy all strong constraints, since in that case $\Gamma(v, \cdot)$ is satisfiable.)

It follows that, if we are given a list $S$ of possible values of $M(\phi)$, we can derive a list of $|S|$ possible values of $M^*(\Gamma)$. Thus we can't have $|S| \leq n^{d'}$ unless the poly hierarchy collapses. This gives the Claim, since $n^{d'} = m^{\Omega(1)}$.