Знаходження відстані між двома поліномами (представлені у вигляді дерев)

Колега, який працює над генетичним програмуванням, задав мені наступне запитання. Я спершу спробував вирішити це на основі жадібного підходу, але, по-друге, подумав про зустрічний приклад жадного алгоритму. Отже, я подумав, що тут варто згадати.

Розглянемо два поліноми, які представлені деревами їх вираження. Наприклад, $x^3-2x+1$ і $x^2 + 4$ наведено нижче:

Правила:

1. Кожен вузол є або ім'ям змінної ( ), числом , або операцією (+, -, ×).$x, y, z, \ldots$
2. Порядок обходу дерева повинен призвести до дійсного многочлена.
3. Операційні вузли мають ступінь 2. Інші вузли мають ступінь 0. Усі вузли мають ступінь 1 (крім кореня, вищий ступінь якого дорівнює 0).

На вузлі N дерева визначте основну операцію так:

1. Основна операція може змінити мітку вузла. Наприклад, можна змінити на 3, або + можна змінити на .$x$$\times$
2. Основна операція може побудувати дерево виразів поверх N (див. Приклад нижче).

Вартість основної операції типу 1 дорівнює 1. Вартість для типу 2 дорівнює кількості {+, -, ×} операцій у новобудованому дереві виразів.

Приклад для типу 2: Вартість наступної базової операції становить 2, оскільки дерево виразів, побудоване на вершині вузла N, використовує дві операції (- і ×).

Нехай Т1 і Т2 - два дерева експресії, що представляють многочлени. Визначте відстань Т1 і Т2 таким чином: мінімальна вартість основних операцій для перетворення Т1 в Т2. Зауважте, що нам не потрібно перетворене дерево мати таку саму структуру, як T2. Ми просто хочемо, щоб він обчислив той же поліном, що і T2. (Див. Коментарі для прикладу.)

Проблема: Враховуючи T1 і T2, подайте алгоритм, який обчислює їх відстань.

Приклад 1: Нехай Т1 і Т2 - це два дерева, проілюстровані на початку цієї публікації. Для перетворення правого дерева в ліве дерево можна побудувати дерево вартістю 3 поверх × і змінити 4 на 1 (загальна вартість - 4).

Приклад 2: Нехай T1 = представлений наступним деревом. Щоб перетворити T1 в T2 = , достатньо додати 1 до кожного з вузлів, щоб порівняти = T2. Це можна зробити, додавши дерево вираження витрат 1 на верхній частині кожного вузла. Цей приклад показує, що термінова конверсія (яку я назвав жадібним підходом на початку цієї посади) не є оптимальним підходом. Тобто, якщо хочеться створити терміни в T2, яких немає в T1 (тобто , , і 1), вартість буде набагато вище.$x^4$$x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$x$$(x+1)^4$$x$4 x 3 6 x 2 4 x$4x^3$$6x^2$$4x$

Дерево Редагувати відстань - це узагальнення відстані редагування рядків. Відстань між двома деревами - це мінімальна кількість вставок вузлів \ видалення \ та відновників, необхідних для перетворення одного дерева в інше. (коли ми видаляємо вузол v, діти v стають дітьми батьків (v)). Проблема є важкою для NP, коли дерева не впорядковані, але коли вони впорядковані (тобто є порядок зліва направо серед побратимів), проблема вирішується за O (n ^ 3) час (як у статті, що Садек згадав). Хороше опитування, яке описує це: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1085283