Чи існують проблеми без ефективних алгоритмів, де теореми існування довели, що такі алгоритми повинні існувати?

22

Чи існують проблеми в КС, коли невідомі ефективні алгоритми, незважаючи на те, що існують теореми, що підтверджують, що такі ефективні алгоритми повинні існувати?

Як називаються ці проблеми? Де я можу дізнатися більше?

ds.algorithms reference-request terminology

— z5h
джерело

4

Я думаю, що це актуально: en.wikipedia.org/wiki/Minor_(graph_theory)#Algorithms

— Philip White

3

Яке Ваше запитання? У заголовку написано «рішення», але у змісті ви пишете «алгоритми».

— Маркос Віллагра

6

Я думаю, що було б краще, якщо ви поцікавитесь цікавими / природними проблемами, інакше визначити такі проблеми легко: візьміть будь-яке математичне твердження, яке невідомо істинне чи помилкове, зробіть задачу 1 вихід (незалежно від введення), якщо вона істина і 0, якщо вона помилкова. Існує два дуже простих алгоритму, що один з них вирішує цю проблему, але вирішуючи, що в основному доводить / спростовує математичне твердження, тому ми не знаємо, який з них вирішує.

— Каве

9

Як приклад, Шелбі Кіммель в цій роботі використовує метод противника, щоб показати, що для певної проблеми, для якої ми не знаємо постійного рішення запиту, повинен існувати алгоритм запитів . Вона робить це особливо гладко, знаходячи складність запиту задачі, складеної із самим собою разів, а потім знаходить складність запиту складеної функції, і зазначаючи, що складність запиту вихідної функції є порядком $O(1)$ $d$ $Q$ . $Q^\frac{1}{d}$

— Артем Казнатчеєв
джерело

12

Звичайно, є багато прикладів, принаймні в дусі вашого питання.

Часто можна отримати такий результат від імовірнісного методу . Наприклад, одна робота, яка мені подобається, що стикається з проблемою, - це реконструкція графіків в адитивній моделі . Тут автори показують, що існує набір запитів які (оптимально) вивчать цільовий графік. Враховуючи цей набір, алгоритм ефективний. Однак вони використовують ймовірнісний метод, щоб показати існування цього невеликого набору (для кожного розміру проблеми), який буде працювати на всіх входах, але не будувати його явно. Тож найкраще, що вони можуть зробити, - це просто жорстокий пошук через експонентну групу запитів, оскільки вони не мають явної конструкції. $O(dn)$

— Лев Рейзін
джерело

2

Ні, ви завжди можете використовувати найшвидший і найкоротший алгоритм для всіх чітко визначених проблем . ;)

— Маркус Рітт
джерело

Я не був абсолютно серйозним, але зауважую, що побудова Хаттера насправді доводить правильність алгоритму. Чому, на вашу думку, це не відповідає на запитання?

— Маркус Рітт

4

@Ross Snider: звичайно, нерозбірливі мови уникають результату Хаттера: він, зрештою, дає алгоритм! Однак, на відміну від пошуку Левіна, який вимагає, щоб проблемні екземпляри мали підтверджувані сертифікати (як проблеми пошуку NP), пошук Хаттера не робить. Це просто вимагає, щоб проблема була викладена на офіційній мові, що може послужити основою для вичерпного пошуку доказів [що фактично деякі ТМ вирішують вказану проблему]. Крім того, Хаттер / Левін не дає нам доказів існування ефективних алгоритмів для проблеми, якщо ми вже не знаємо, що проблема має такий алгоритм.

— Джошуа Грохов

1

@ Джошуа Я вивів невідрізні мови як приклад того, що пошук Хаттера / Левіна не міг вирішити (я намагався вибрати щось очевидне), але це залишається "чітко визначеним"; це аргумент проти позову, заявленого у назві статті. Звичайно, я обережно визнав, що не читав вмісту, що мені доведеться зараз робити.

— Росс Снайдер

1

Чи є в цьому алгоритмі обчислювальний зміст еквівалентності конструктивної та класичної математики на наступних твердженнях?

— Neel Krishnaswami

1

@Neel Kirshnaswami: Важко сказати, оскільки я не знав, що існує така еквівалентність! Чи можете ви дати вказівник?

— Джошуа Грохов

1

Редагувати: Відповідь, наведена нижче, регламентує існування рішень даної обчислювальної задачі, а не існування алгоритмів. Спочатку я неправильно трактував питання.

Відповідь

Існує клас складності, який фіксує цей вид обчислювальних задач. Він відомий як TFNP . Це було визначено в цій роботі:

Німрод Мегіддо та Христос Пападімітріу. Про загальні функції, теореми існування та обчислювальну складність . Теоретична інформатика 81 (2): 317-324.

Тут ви знайдете такі проблеми, як Трихроматичний трикутник, для вирішення якого існує гарантування леми Спернера (див. Статтю для визначення цієї проблеми).

Ви також маєте такий документ:

Христос Пападімітріу. Про складність аргументу паритету та інших неефективних доказів існування . Журнал комп'ютерних та системних наук 48 (3), 1990.

У цьому документі ви знайдете:

$n$
Рівновага ігор для двох гравців.
Знайдіть другий гамільтоновий шлях на графіку.

У роботі є багато прикладів подібного типу проблем. Тож рекомендую поглянути на це.

— Маркос Вільягра
джерело

2

Питання задається не про проблеми з імовірно існуючими рішеннями їх версій рішень, а про проблеми з доведеним існуванням ефективних алгоритмів. Це різні речі. Я згоден, що на перший погляд назва може ввести в оману. Однак лише з першого погляду.

— Олександр Бондаренко

так, я теж згоден Але мене це питання абсолютно ввело в оману. Зараз у цьому випадку відповідь вводить в оману. Що мені робити? Чи потрібно видалити запитання? Або відредагуйте та поставте попередження про те, що саме відповідає?

— Маркос Віллагра

Немає політики щодо видалення відповідей, ви завжди можете робити те, що вважаєте за потрібне. Особисто я вважаю, що добре залишити свою відповідь тут. Ви можете поставити заяву, на яке питання ви точно відповідаєте.

— Сісен-Чі Чанг 8 之