Знаходження простої, більшої за задану межу

Чи є алгоритм детермінованого полінома-часу, відомий для наступної проблеми:

Введення: натуральне число (у двійковому кодуванні)$n$

Вихід: просте число .$p > n$

(Відповідно до переліку відкритих проблем Леонарда Адлемана, ця проблема була відкрита в 1995 році.)

Поточний кращий безумовний результат був дан Odlyzko, який знаходить простий в O ( N 1 / 2 + O ( 1 ) ) час. Сильна думка в проекті Polymath4 прагне вирішити, чи можна це зробити в поліноміальний час, за розумних теоретико-теоретичних припущень, таких як GRH.$p >N$$O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

В даний час проект прагне відповісти на таке питання:

Беручи під увагу ряд і інтервал між N і 2 N , при реєстрації за часом O ( N 1 / 2 - гр ) для деякого з > 0 , якщо інтервал містить просте число.$N$$N$$2N$$O(N^{1/2 - c})$$c>0$

Поки вони мають стратегію, яка визначає паритет кількості простих ліній в інтервалі.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

Якщо припустити стандартну гіпотезу в теорії чисел, яка стверджує, що

Припущення Крамера : Нехай - n-й простий. Тоді p n + 1 - p n = O ( log 2 p n ) .$p_n$$p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

У нас є детермінований алгоритм поліноміального часу для проблеми, просто запустивши тест первинності на кожне число, більший від починаючи з n + 1 . (Звичайно, n має бути досить великим; для малих n ми розглядаємо окремо.)$n$$n+1$$n$$n$

Але я не впевнений, що це можна довести безумовно.