Чи існує якийсь зв’язок між діамантовою нормою та відстані пов’язаних станів?

У квантовій теорії інформації відстань між двома квантовими каналами часто вимірюється за допомогою алмазної норми. Існує також ряд способів вимірювання відстані між двома квантовими станами, такі як відстань сліду, вірність тощо. Ізоморфізм Джаміолковського забезпечує подвійність між квантовими каналами та квантовими станами.

Мені це цікаво, принаймні, тому, що алмазну норму, як відомо, важко обчислити, а ізоморфізм Джаміолковського, здавалося б, передбачає деяку кореляцію між мірами відстані квантових каналів та квантовими станами. Отже, моє запитання таке: чи є відомий зв’язок між відстані в діамантовій нормі та відстані між супутніми станами (в якійсь мірі)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— Джо Фіцсімонс
джерело

Я не впевнений, що ви маєте на увазі під «алмазною нормою, як відомо, важко обчислити». Якщо вам дають квантовий канал у якості явної матриці (скажімо, його представлення Чой-Яміолковського, скажімо), квадрат його діамантової норми можна сформулювати як напіввизначена програма; Дивіться розділ 20.4 конспект лекції Джона Уотруса . У цьому сенсі алмазна норма має ефективний спосіб розрахунку.

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi: Я просто замислювався на неявній оптимізації. Я не мав на увазі обчислювально важкий, але досить незручний для роботи.

— Джо Фіцсімонс

Це дуже приємні конспекти лекцій, як осторонь.

— Суреш Венкат

@Suresh @Tsuyoshi: Так, це чудові ноти, але я не думаю, що вони відповідають на це питання.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: чомусь останній розділ слайдів QIP становить 20,3, чи є у вас більш повний набір лекцій?

— Артем Оботуров

Відповіді:

Для квантового каналу запишемо для позначення асоційованого стану: $\Phi$ $J(\Phi)$ Тут ми припускаємо, що канал відображає (тобто складних матриць) на для будь-якого вибору натуральних чисел та вам подобаються. Матриця

J (Φ) = \frac{1}{н} \sum_{1 \leq i, j \leq н} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ іноді називають матрицею Чоя або представленням Чой-Яміолковського

, але частіше використовуються ці терміни, коли

Φ

$\Phi$

нормалізація пропущена.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$ де позначає канал ідентичності від до себе, позначає норму слідів, і супремус береться за всі і всі матриці щільності обрані з

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = \underset{ρ}{суп} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{к}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{к}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

. Супремум завжди трапляється бути досягнутий при деякому виборі

і деякого ранг 1 матриця щільності

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Зверніть увагу , що наведене вище визначення не працює для довільних відображень, тільки ті форм для цілком позитивних відображень і Для загальних відображень, верхня межа береться по всім матрицями зі слідом нормами 1. , на відміну від матриць просто щільності.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Якщо у вас немає додаткових припущень на каналах, ви не можете сказати занадто багато про те, як ці норми співвідносяться осторонь цих грубих меж: Щодо другого нерівності, то, по суті, погоджується конкретний вибір

\frac{1}{н} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

замість того, щоб взяти супремум над усіма

. Перша нерівність є більш жорсткою, але це було б розумним питанням присвоєння аспіранту з квантової інформації. (На цьому етапі я повинен подякувати вам за ваше запитання, оскільки я цілком маю намір використати це питання в падінні мого курсу квантової теорії інформації.)

ρ = \frac{1}{н} \sum_{1 \leq i, j \leq н} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$

$\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— Джон Вотрос
джерело

Дякую Джону, що чудово відповідає на моє запитання і врятував мені багато часу.

— Joe Fitzsimons

Ви також можете розглянути міри відстані для порівняння реальних та ідеальних квантових процесів arXiv: quant-ph / 0408063, який дає огляд вимірювань відстані для квантових каналів та їх зв’язків.

Вони використовують термін S відстань для алмазної відстані та J відстань для сліду відстані операторів Jamiołkowski, пов'язаних з каналами.

— Антоніо Валеріо Міцелі-Бароне
джерело

$\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Також такий спосіб мислення показує, що якщо канали можна телепортувати детерміновано (наприклад, канали Паулі), то їх діамантова норма дорівнює сліду відстані Яміолковського.

— Алекс Монрас
джерело