Наслідки Повних завдань для НП перетинає коНП

Які наслідки виникнення повних проблем у ?$NP\cap coNP$

Це (широко) відкрита проблема; як у нас, ми майже нічого не знаємо. Зокрема, через хитрість доведення $NP \cap coNP$ -повних проблем нам потрібні дуже різні методи доказування, ніж існують в даний час. Таким чином, обговорення наслідків повинно обґрунтовано включати дотичну тему на тему "Що би означало мати такі потужні, нові методи доказування?"

Для відносно недавнього обговорення цієї теми є 26-й стовпчик Девіда Джонсона, що стосується NP-завершеності, у розділі ACM Transaction on Algorithms of 2007 ( PDF ). Дозвольте перефразовувати щось із того, що каже Давид стосовно питання про доведення $NP \cap coNP$ завершення проблем і додати мої думки:

Наразі у нас є лише "слабкі" природні кандидати на членство в $NP \cap coNP - P$ в тому сенсі, що найсильнішим свідченням їх членства є те, що нам ще не вдалося знайти алгоритм поліноміального часу для них. Він перелічує декількох кандидатів: МАЛИЙ ФАКТОР, ПРОСТА СТОХАСТИЧНА ІГРА та ЗНАЧАЄТЬСЯ ІГРУ ПАЙОФА. Деякі додаткові "дивацтва" цих проблем пов'язані з найкращими евристичними періодами пробігу для їх вирішення, наприклад, МАЛИЙ ФАКТОР, відомий також як ІНТЕГРНИЙ ФАКТОР $\le k$ , має рандомізовану часову складність $poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$ . (Якщо в$NP \cap coNP - P$існують повні проблеми, то чиє така субекспоненціальна(ні чисто експоненціальна, ні цілком поліноміальна)ендеміка часу виконання класу?)

Так в зокрема, ми хотіли б пак, щоб довести що - щось на зразок: завдання А тільки в $P$ тоді і тільки тоді $NP \cap coNP = P$ , тобто в повноті результат , як теорема Кука для 3SAT і $NP$ . Для $NP$ такі докази загалом включають скорочення поліноміального часу (і фіксують улюблені додаткові обмеження, наприклад, скорочення кухаря, скорочення Карпа). Як результат, за методами скорочення поліномного часу, має бути випадок існування впізнаваного поліноміального часу класу. Для $NP$ ми можемо використовувати недетерміновані машини Тьюрінга, які зупиняються в поліномі, $p(|x|)$ , кількість кроків. Як Давид вказує,нас є подібні уявлення для інших класів (де статус зрозуміліше)таких як$PSPACE$ і#$P$ .

Однак, складність у наданні аналогічного подання для $NP \cap coNP$ полягає в тому, що "природний" аналог дозволяє нам вбудувати задачу зупинки в уявленні, і тому не можна визначити . Тобто розглянемо наступну спробу представити $NP \cap coNP$ двома недетермінованими машинами Тюрінга, які, як передбачається, розпізнають додаткові мови:

Питання: Є чи машина Тьюрінга $M^*$ привал на вході $x \in {0,1}^n$ ?

$M_1$$M_2$$y$$M_1$$M_2$$|y| \ge |x|$$M^*$$x$$\le |y|$

$M_1$$M_2$ $M^*$$x$

$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$

$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$