Чи існують проблеми, пов'язані з NP, у вирішенні багаточленних очікуваних часових рішень?

24

Чи існують якісь повні NP-проблеми, для яких алгоритм відомий, що очікуваний час роботи є поліном (для деякого розумного розподілу по екземплярах)?

Якщо ні, чи існують проблеми, для яких встановлено існування такого алгоритму?

Або існування такого алгоритму означає існування детермінованого багаточленного алгоритму часу?

cc.complexity-theory np-hardness

— Стів Кроун
джерело

6

Я не зовсім розумію, у чому питання. Ви запитуєте середні результати для важких проблем з NP або ви запитуєте, чи можемо ми вирішити проблеми NP-тяжкого у найгіршому випадку у очікуваний час полінома?

— Моріц

2

Що ви маєте на увазі під «очікуваним часом роботи»? Чи приймаєте ви сподівання на якийсь випадковий розподіл вхідних даних (як здається більшість відповідей) або над розподілом випадкових бітів, використовуваних алгоритмом (звичайне значення для рандомізованих алгоритмів), або обох?

— Jeffε

@Moritz: Я запитую про середні результати для важких проблем NP. Вирішення важких задач NP в гіршому випадку в очікуваний час полінома здається мені ще сильнішим результатом, тому я також був би зацікавлений у таких результатах. @JeffE Я говорю про очікуваний час з деяким розподілом по екземплярах. Якщо алгоритм буде рандомізований, можна взяти очікування і за випадкові біти. Але моє питання стосується передусім не випадкового алгоритму.

— Стів Кроун

3

Проста техніка накладки дає вам змогу побудувати їх з будь-якої проблеми.

$L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ - -комплект. Скорочення від дорівнює: $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Ліуве Вінкхуйзен
джерело

13

Існує алгоритм поліноміального часу для знаходження гамільтонових циклів на випадкових графах, який вдається асимптотично з тією ж ймовірністю, що існує гамільтонів цикл. Звичайно, ця проблема є найважчою у найгіршому випадку.

Вони також показують, що алгоритм динамічного програмування, який завжди гарантовано знайде Гамільтонів цикл, якщо він існує, має очікуваний час полінома, якщо розподіл входів рівномірно випадковий для набору всіх вершинних графіків. $n$

Довідка: "Алгоритм пошуку циклів Гамільтона у випадкових графах"

Болобас, Феннер, Фриз

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— Аарон Рот
джерело

10

Що стосується вашого останнього запитання про те, чи означатиме існування хорошого середнього алгоритму випадку існування хорошого найгіршого алгоритму: це головне відкрите питання, яке особливо цікавить криптографів. Криптографія вимагає проблем, які в середньому важкі, але криптографи хотіли б базувати свої конструкції на мінімально можливих припущеннях, тому представляє велике зацікавлення знайти проблеми, коли середня твердість в середньому дорівнює рівню найгіршої жорсткості.

Відомо, що декілька проблем з решіткою мають такі гірші показники як середнє скорочення. Дивіться, наприклад, „ Створення важких випадків решіткових проблем Айтая” та статтю опитування Мічіансіо.

— Ян
джерело

9

В основному, Max 2-CSP для змінних і випадково вибраних обмежень можна вирішити в очікуваний лінійний час (див. Посилання нижче для точного формулювання результату). Зауважте, що Max 2-CSP залишається NP-важким, коли кількість пропозицій дорівнює кількості змінних, оскільки це NP-важко, якщо графік обмеження екземпляра має максимальний ступінь не більше 3, і ви можете додати деякі фіктивні змінні, щоб зменшити середнє значення ступінь до 2. $n$ $n$

Довідка:

Олександр Д. Скотт та Григорій Б. Соркін. Розв’язання рідкісних випадкових екземплярів Max Cut та Max 2-CSP в очікуваний лінійний час. Гребінець. Імовірно. Вичі, 15 (1-2) :. 281-315, 2006. Препринт

— Серж Гасперс
джерело

2

Я не бачу, як ваша заява відповідає твердженням у статті. У статті йдеться про розв’язання Max 2-CSP, якщо основний графік є випадковим графіком у моделі G (n, c / n) для деякого фіксованого c, що означає, що це графік на n вершинах, де кожне ребро відбувається незалежно з ймовірністю c / n, отже, в очікуванні є екземпляр (обмеження). Але якщо ви зробите зменшення твердості NP, щоб отримати жорсткі екземпляри з n вершинами і n ребрами, розподіл екземплярів НЕ буде слідувати моделі і отже, я б не сказав, що папір вирішує NP-жорсткий проблема.

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

— Барт Янсен

@Bart: Я, можливо, неправильно зрозумів питання. Я стверджую, що Max 2-CSP з лінійною кількістю застережень є NP-жорстким, але існує алгоритм із очікуваним лінійним часом, що вирішує цю проблему для випадкових випадків.

— Серж Гасперс

В основному, якщо я правильно розумію ваш аргумент, ви говорите, що Макс 2-CSP, оснащений розподілом G (n, c / n) над основними графіками, може бути вирішений у очікуваний лінійний час. Я погоджуюся з Бартом у тому, що розподіл не здається мені цілком "розумним" чи "природним", але я думаю, що він відповідає на моє питання адекватно.

— Стів Кроун

@Steve: Я згоден.

— Серж Гасперс

7

Це не відповідає на ваше запитання повністю, але для огляду результатів щодо випадкових випадків 3-SAT ви можете побачити це: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

Зазвичай важко визначити, що насправді означає «розумне розподілення». Ви можете перейти за цим посиланням, щоб прочитати більше про це у опитуванні Богданова та Тревісана "Середньочасова складність": http://arxiv.org/abs/cs/0606037 .

— Григорій Ярославцев
джерело

Дякуємо за посилання. На жаль, результати "з великою часткою ймовірності" 3-SAT паперу недостатньо сильні (наскільки я бачу) для підтвердження мого запиту. Я згоден "розумний розподіл" може бути волохатим. У цьому я вважаю за краще, якщо дистрибутив, очевидно, не вибраний таким чином, щоб "ефективний простір екземпляра" не просто зводив проблему до тієї, яку, як відомо, було в П.

— Стів Кроун,

5

"Розфарбування випадкових графіків у очікуваний поліноміальний час" Аміна Коджа-Оглана та Ануша Тараза

Досліджуємо задачу фарбування випадкових графіків у очікуваний багаточлен. Для випадку ми представляємо алгоритм, який знаходить оптимальне забарвлення в очікуваний лінійний час. Для суттєво великих значень p ми наведемо алгоритми, які наближають хроматичне число в межах коефіцієнта . $G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— Джоель Рибицький
джерело