Оцінка VC-розмірності

Що відомо про наступну проблему?

Давши колекцію функцій , знайдіть найбільшу підколекцію урахуванням обмеження, яке VC-розмір для деяке ціле . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Чи є алгоритми наближення або результати твердості для цієї проблеми?

— Аарон Рот
джерело

Функції, схоже, не грають ніякої ролі в максимізації | S |

— Суреш Венкат

Вибір функцій визначає VC-розмірність S. Проблема полягає в тому, щоб знайти якомога більший клас функцій, за умови обмеження розміру VC.

— Аарон Рот

Я бачу. Отже, перекладений на "земля геометрії", вам надається колекція діапазонів (f виступає як характерна функція), і вам потрібно найбільший підколекція обмеженого розміру ВК.

— Суреш Венкат

Інша проблема відповіді на запитання: як представлений C? Ми знаємо, що максимально можливий розмір є за лемою Зауера, а для запису навіть однієї функції в потрібно біт.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Суреш Венкат

Правильно. Мене цікавлять результати в будь-якому режимі представництва. Ви можете уявити, що представлено у виглядіматриця, у цьому випадку час роботибуло б `` ефективним '' (хоча не час Це потрібно, щоб вичерпно перевірити, чи були розбиті всі набори точок). Якщо будь-які алгоритмічні результати можливі лише за допомогою запиту в чорному вікні до функцій на , це було б ще краще.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Аарон Рот

Відповіді:

Редагувати : вихідна проблема - -тверда, щоб приблизна, коли $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ де позначає кількість множин. $n$

Подвійний гіперграф виходять шляхом обміну вершин з ребрами, і збереженням числа випадків. Простіше зрозуміти проблему, коли зазначимо, що гіперграф має розмірність VC 1, якщо його подвійний перехресний (для всіх в , принаймні один з порожній). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

За подвійністю початкова задача (для ) еквівалентна даному гіперграфу , знайдіть максимальний розмір з перехресним. $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

Насправді ця проблема (подвійна) є дуже складною навіть тоді, коли всі множини мають розмір 2: тоді це графік, і ми шукаємо розмір вершини максимального розміру, індукований підграф, який не містить двокрайкового шляху ( не важко зрозуміти, що це єдиний спосіб виникнення схрещувальної пари, якщо граф має принаймні 4 вершини). Але ця властивість є спадковою і нетривіальною, і тому ми можемо використовувати результат Фейге і Когана, щоб показати твердість. $\mathcal{S}$

Оригінальна відповідь

Подвійну задачу для (знайти максимальний розмір таким, щоб подвійний розмір VC розміру максимум дорівнює 1) важко визначити в межах (у сім'ї з множинами). $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

Причиною цього є те, що подвійний VC-розмір сімейства дорівнює 1, якщо має місце наступне: для всіх в , принаймні один з порожній. (Тобто VC-dim = 1 - це дуал того, що часто називають вільним перехрещенням.) $A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Ми зменшуємо від незалежного набору до обчислення максимальної величини безхресної підсемейства. Давши графік гіперграф де для якогось манекенового елемента . Для кожної вершини з , ми додамо наступний набір в : $G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

Це не важко , щоб показати сімейний є перетином вільного тоді і тільки тоді незалежний в . $\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Але для оригінальної (первісної) проблеми, здається, потрібно ще кілька думок ... виглядає цікаво!

— daveagp
джерело

Деякі відповідні пов'язані з цим роботи: Оцінка самого розміру ВК (не кажучи вже про значне підколективне обмеження VC-виміру) у вашому представленні є завершеним LOGNP (LOGNP - NP обмежений для реєстрації n бітів недетермінізму). Існує також трохи пов'язаної роботи з оцінки та наближення розміру VC, коли представлення простору діапазону є більш компактним (див. Також посилання всередині)

— Суреш Венкат
джерело