У чому полягає складність обчислення оптимальних вільних кодів префікса, коли частоти схожі?

Добре відомо, що існує найгірший варіант оптимального алгоритму для обчислення коду Хаффмана в часі . Це покращується двома ортогональними способами:$\theta(n\lg n)$

1. Оптимальні вільні коди префікса можуть бути обчислені швидше, якщо набір різних частот невеликий (наприклад, розмір ): сортуйте частоти за допомогою [Munro і Spira, 1976], щоб скористатися малим значенням та обчислити дерево Хаффмана в лінійний час від відсортованих частот. Це дає рішення в$\sigma$$\sigma$$O(n\lg\sigma)$

2. Існує алгоритм для обчислення еквівалентних кодів, де - кількість різних кодових слів [Білал та Ельмасрі].$O(n 16^k)$$k$

Чи є спосіб комбінувати ці методи, щоб покращити поточну найкращу складність ?$O(n\min\{16^k,\lg\sigma\})$

$O(nk)$ РЕЗУЛЬТАТ ВІД STACS 2006 SEEM бути неправим , Elmasry опубліковано Arxiv в 2010 році (http://arxiv.org/abs/cs/0509015) версія оголошуючи - $O(16^kn)$ операції на несортовані вході і - $O(9^k \log^{2k-1} n)$ операції на впорядкованому вході

1. Я бачу аналогію зі складністю обчислення плоского опуклого корпусу, де алгоритми в $O(n\lg n)$ (сортування на основі, як алгоритм $O(n\lg n)$ для коду Хаффмана) і в $O(nh)$ (подарунок обгортання) були витіснені алгоритмом Кіркпатріка та Зейделя в $O(n\lg h)$ (пізніше виявився оптимальним примірником за складністю форми $O(nH(n_1,\ldots,n_k)$ ). $O(n\lg n)$ проти $O(nk)$ передбачає можливість алгоритму зі складністю $O(n\lg k)$ , або навіть $O(nH(n_1,\ldots,n_k)$ де $n_i$ - кількість кодових слів довжини $i$, використовуючи аналогію краю опуклого корпусу, що охоплює $n_i$ вказує на довжину коду, що охоплює $n_i$ символи.

2. Простий приклад показує, що сортування (округлих) логарифмічних значень частот (у лінійному часі в моделі оперативної пам'яті слова $\theta(\lg n)$ ) не дає оптимального вільного коду з префіксом у лінійному часі:

   • Для $n=3$ , $f_1=1/2-\varepsilon$ і $f_2=f_3=1/4+\varepsilon$
   • $\lceil\lg f_i\rceil=2$ тому сортування журналу не змінює порядок
   • все ж два коди з трьох коштують $n/4$ біт більше, ніж оптимально.

3. Іншим цікавим питанням буде зменшення складності, коли $k$ великий, тобто всі коди мають різну довжину:

   • наприклад, коли частоти є різними логічними значеннями. У цьому випадку можна сортувати частоти в лінійний час в оперативній пам'яті слова і обчислити код Хаффмана в лінійний час (оскільки для сортування їхніх журнальних значень достатньо для сортування значень), в результаті чого загальний лінійний час , набагато краще, ніж з алгоритму Белала та Ельмасрі.$k=n$$\theta(\lg n)$$n^2$

Минуло кілька років (п'ять!), Але ось часткова відповідь на питання:

http://arxiv.org/abs/1602.00023

Оптимальні вільні коди з префіксом з частковим сортуванням Jérémy Barbay (Надіслано 29 січня 2016)

Ми описуємо алгоритм, що обчислює оптимальний вільний код префікса для n несортованих позитивних ваг у часі в межах O (n (1 + lgα)) ⊆O (nlgn), де чергування α∈ [1..n − 1] вимірює кількість сортування, необхідне для обчислення. Ця асимптотична складність знаходиться в межах постійного коефіцієнта оптимальної в обчислювальній моделі алгебраїчного дерева рішень, в гіршому випадку для всіх випадків розміру n та чергування α. Такі результати уточнюють сучасну складність Θ (nlgn) в гіршому випадку за екземпляри розміру n в одній і тій же обчислювальній моделі, орієнтир стиснення та кодування з 1952 року, просто поєднанням алгоритму Ван Леуена для обчислення оптимального префікса вільні коди з відсортованих ваг (відомі з 1976 р.) з відкладеними структурами даних для часткового сортування мультисети залежно від запитів на ньому (відомо з 1988 р.).