Знайдіть найбільший куб, що міститься в союзі кубоїдів

Я маю багато кубоїдів у тривимірному просторі, кожна має вихідну точку (x, y, z) і має розмір (Lx, Ly, Lz). Цікаво, як знайти найбільший куб у цьому тривимірному просторі, який міститься в об'єднанні кубоїдів. Чи існує ефективний алгоритм для цього?

Наприклад, якщо у мене є такі кубоїди:

кубоїд, починаючи з (0,0,0) розміром (10,10,10),
кубоїд при (10,0,0) розміром (12,13,15),
кубоїд при (0,10,0) розміром (10,10,10),
кубоїд при (0,0,10) розміром (10,10,10) та
кубоїд при (10,10,10) розміром (9,9,9).

Тоді найбільшим кубом, що міститься в об'єднанні цих кубоїдів, буде куб, розмір якого починається (0,0,0) (19,19,19).

Більш загальна версія цього питання:

З огляду на колекцію ящиків в , знайдіть найбільший гіперкуб, що міститься в об'єднанні коробок. $n$ $\mathbb{R}^d$

ds.algorithms cg.comp-geom

— пантофський
джерело

Я думаю, що всередині є краще питання: а саме, зважаючи на об'єднання ящиків у

, обчисліть найбільший гіперкуб, що міститься в союзі.

R^{d}

$R^d$

— Суреш Венкат

Чи можуть ці кубоїди перекриватися?

— Пітер Бут

@ Суреш, дякую за уточнення та узагальнення питання :) @ Петер, у моєму випадку ... Це не

— перекриється

Як ви це зробили, це здається, що сторони кубів вирівняні з вісями x, y та z. Це так, чи куби можуть мати довільну орієнтацію? Це, очевидно, суттєво впливає на ефективність роботи алгоритму.

— Joe Fitzsimons

У моєму випадку обличчя кожної кубоїди ортогональне лише осям.

— пантофскі

Відповіді:

Ну, ось перша спроба дурної відповіді ... Проведіть площину через кожну грань прямокутних коробок. Це утворює сітку розміром . Не важко обчислити кожну таку комірку сітки, чи то всередині об'єднання, так і зовні. Тепер з кожної вершини сітки виростіть куб (маючи цю вершину як вершину), намагаючись зробити її якомога більшою. Здійснюючи це найбільш наївним способом, це вимагає часу на вершину, але, ймовірно, використовуючи ортогональний діапазон пошуку магії, слід робити це в на вершину. Отже $O(n^3)$ $O(n^3 \log n)$ $\log^{O(1)} n$ повинен бути можливим ... $O(n^3 \log^{O(1)} n )$

Друга спроба: обчислити союз. У цьому конкретному випадку це можна зробити за час (шляхом підмітання площин). Тепер зауважте , що вам просто потрібно обчислити voronoi діаграму межі союзу. Використовуючи результат: http://vw.stanford.edu/~vladlen/publications/vor-poly Cathedral.pdf , це можна зробити за час, для довільної невеликої постійної . $O( n \log n)$ $L_\infty$ $O(n^{2+\varepsilon})$ $\varepsilon > 0$

Перервати обмежений тут час роботи було б цікаво, ІМХО. $O(n^2)$

— Саріель Хар-Пелед
джерело

Дякую, сер, я також вважаю, що L∞ - найкраще рішення цієї проблеми поки що. Оскільки я раніше робив L∞ для двовимірного випадку (реалізований методами, передбаченими в цій статті inf.usi.ch/facturing/papadopoulou/publications/ijcga01.pdf ). Тривимірний чохол із лише коробочками не повинен бути дуже складним.

— pantoffski

Відповідь на загальне питання про , здавалося б, полягає в тому, що він є важким для NP. Доказ досить простий. Ми просто беремо екземпляр 3SAT на змінних і пов'язуємо кожну змінну з виміром. Подумайте про простір як простір можливих призначень змінних: ми розглядаємо тільки точки між -1 і +1 в кожному dimesnion і асоціювати місця із завданням 0 для цього змінного і з присвоєнням 1. Кожен У пункті виключається область, задана значенням $R^d$ $d$ $<0$ $>0$ $1 \times 1 \times 1 \times n \times n \times n ... \times n$ гіперкубоїдна.

Якщо об'єднання цих кубоід заповнює простір (і так містить куб), то не існує задовольняє присвоєння змінних для примірника 3sat. Якщо найбільший міститься куб - або 0 (для жодних пропозицій), єдині інші можливості, то є задовольняюче призначення змінних. $2 \times 2 \times ... \times 2$ $1 \times 1 \times ... \times 1$

— Джо Фіцсімонс
джерело

Я думаю, ви можете довести, що це є в FNP (принаймні, у випадку кубоїдів з вирівнюванням осей), запустивши вищезгадану аргументацію в зворотному напрямку і показавши, що будь-яка кубоїда становить обмеження, яке можна перевірити в поліноміальний час.

— Joe Fitzsimons