Ієрархії в NP (за умови, що P! = NP)

Припускаючи, що P! = NP, я вважаю, що було показано, що існують проблеми, які не є в P і не є NP-Complete. Графічний ізоморфізм вважається такою проблемою.

Чи є свідчення про більше таких «шарів» в НП? тобто ієрахія з більш ніж трьох класів, що починається з P і закінчується NP, таким чином, що кожен є належним надмножиною іншого?

Чи можливо, що ієрархія нескінченна?

Так! Фактично існує безкінечна ієрархія дедалі складніших проблем між P і NP-завершеними, припускаючи, що P! = NP. Це прямий наслідок доведення теореми Ладнера (який встановив незапорожненість NP \ P)

Формально ми знаємо, що для кожного безлічі S, що не знаходиться в P, існує S 'не в P таке, що S' може бути відновлюваним Карпом до S, але S не може бути відновленим до Кука до S '. Отже, якщо P! = NP, то існує NP нескінченна послідовність множин S ₁ , S ₂ ... в NP \ P, така що S _{i + 1} можна відновити за Карпом до S _i, але S _i не зводиться до Кука до S _{i + 1} .

Справді, переважна більшість таких проблем носять надзвичайно неприродний характер.

Існує поняття "обмежений недетермінізм", який обмежує недетерміновані біти, необхідні машині Тьюрінга для досягнення рішення. Клас NP вимагає, наприклад, бітів O (n). Обмежуючи недетерміновані біти полілогом, визначає нескінченну ієрархію класів складності, що називається \ beta P ієрархія, з усіма власними проблемами.

Докладнішу інформацію див., Наприклад, у наступній статті: Голдсміт, Леві, Мундхенк, "Обмежений недетермінізм", SIGACT News, том 27 (2), сторінки 20-29, 1996.