Закриття під суму Міньковського.

Сума Міньковського двох наборів векторів задається через $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

Я щойно почув цікаву проблему (приписується Дану Гальперіну): форма , чи існує форма така, що ? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

Але це не моє питання (це, здається, є відкритою проблемою). Зауважимо , що в зазначеної вище проблеми, якщо є безліч опукло, то існує рішення , оскільки опуклі безлічі замкнуті щодо взяття сум Маньківського. $B$ $A = (1/2)B$

Фіксуємо клас форми . Ми говоримо , що буде закрито під сумами Маньківського , якщо для будь-якого . ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

Отже, моє питання:

Чи є приємна характеристика класів фігур , які закриті під сумами Мінковського? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Суреш Венкат
джерело

Юкка: Я оновив питання.

— Суреш Венкат

Я читаю редакцію 2. (1) Я не бачу, як "опуклі множини закриваються під час отримання сум Міньковського" є причиною "існує рішення A = (1/2) B" (хоча обидва факти зрозумілі). (2) Я сумніваюся, що існує якась еквівалентна характеристика, яка є кращою, ніж "закрита під суми Мінковського".

— Цуйосі Іто

Це правда, що прямого наслідку немає. Але доказ використовує той факт, що сума двох опуклих множин є опуклою. Я міг би перетворити слово "також зауважте, що .." замість "з ..."

— Суреш Венкат

Я не думаю, що ми використовуємо той факт, що сума Міньковського з двох опуклих множин є опуклою при доведенні (B / 2) ⊕ (B / 2) = B для опуклої множини B. Вміст (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B не має нічого спільного з опуклості. Утримання (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B випливає з того, що B опуклий: для будь-якого x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈B через опуклості Б.

— Цуйосі Іто

@Yoshio: це можливо. Це питання також може бути пов'язане з роботою "підсумків" в загальних групах.

— Суреш Венкат

Решітки та лінійні підпростори закриті під сумою Мінковського. Це більш-менш безпосередньо від їх визначення. Решітки + лінійні підпростори закриваються під сумою Мінковського (тобто, член цього набору є, наприклад, набором паралельних прямих на відстані 1 один від одного). З’єднані багатокутники з отворами закриваються під сумою Мінковського. Кільця [задані відмінності двох концентричних дисків] закриваються під суму Міньковського (диск вважається кільцем, природно). Набір відрізків рядків, паралельних певному напрямку, закритий під сумою Міньковського. Картопля з пюре закривається під суму Міньковського, але тільки якщо вони добре зварені (а може й ні, ще пізно) ...

Також сім'я кінцевих з'єднань концентричних кілець закрита під сумою Мінковського.

— Саріель Хар-Пелед
джерело