Геометричні задачі, які є NP-повними в

Ряд геометричних задач простий, якщо їх розглядати в , але є NP-повним в R d для d ≥ 2 (включаючи одну з моїх улюблених проблем, кришку одиничного диска).$R^1$$R^d$$d\geq2$

Хтось знає про проблему, яка розв'язується в полімережі для і R 2 , але NP-повна для R d , d ≥ 3 ? $R^1$$R^2$$R^d,d\geq3$

Більш загально, чи існують проблеми, які є NP-повними для але розв'язувані у полімережі для R k - 1 , де k ≥ 3 ?$R^k$$R^{k-1}$$k\geq3$

Встановіть кришку півпробілами.

Враховуючи набір точок у площині та набір напівплощин, що обчислюють мінімальну кількість напівплощин, що охоплюють точкові множини, можна вирішити за багаточлен у площині. Проблема, однак, NP в 3d (важче, ніж знайти міні-кришку за підмножиною дисків точок у 2d). У 3d вам надається підмножина напівпросторів і точок, і ви шукаєте мінімальну кількість напівпросторів, що охоплюють точки.

Тут описаний алгоритм багаточастоти в 2d: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

Ви не просто запитуєте, тому що 3d версія навіть складніше, ніж NP-повна, але: Знайти найкоротший шлях між двома точками серед полігональних перешкод у площині - це час у многочлен (найпростіше, побудувати графік видимості двох терміналів і вершини багатокутника і застосовують Дейкстра; існує також складніший алгоритм O (n log n) завдяки Гершбергеру та Сурі, SIAM J. Comput. 1999), але пошук найкоротшого шляху серед багатогранних перешкод у 3d є PSPACE-повним (Canny і Рейф, FOCS 1987).

Будь-який неопуклий багатокутник у площині може бути триангульований за O (n) часом без точок Штейнера; тобто кожна вершина триангуляції є вершиною многокутника. Причому кожна тріангуляція має рівно n-2 трикутники.

Однак визначення того, чи може неопуклий багатогранник у R ^ 3 можна триагулювати без точок Штейнера, є NP-повним. Результат твердості NP має місце навіть у тому випадку, якщо вам присвоєно триангуляцію з однією точкою Штейнера, тому навіть приблизна мінімальна кількість необхідних точок Штейнера є NP-жорсткою. [Джим Рупперт і Раймунд Сейдель. Про складність трикутної тривимірної невипуклі багатогранники. Дискретне обчислення. Геом.1992.]

Якщо даний многогранник опуклий, знайти триангуляцію легко, але знайти триангуляцію з мінімальною кількістю тетраедрів NP-важко. [Олександр Нижній, Хесус де Лоера та Юрген Ріхтер-Геберт. Складність пошуку невеликих трикутників опуклих 3-політопів . Дж. Алгоритми 2004.]

$d$$d \le 3$$d \ge 4$

Вирішити, чи метричний простір ізометрично вбудовується в R ^ 2, легко. Однак визначитися з можливістю вбудовування R ^ 3 важко.

Вбудовування в $\ell_\infty^2$ легко вбудовуватися $\ell_\infty^3$є NP-повним. Джефф Едмондс. SODA 2007

Папір

This answer doesn't exactly answer your question, but it does have some smaller ties. Rather than answering for $R^2$ and $R^3$, I show you that this exists in $Z^2$ and $Z^3$.

The 2-SAT problem (Boolean Satisfiability) is solvable in polynomial time. Although it is not necessarily "geometric", there is a corresponding problem known as matching, which is more geometric, in a sense, and maps directly with the 2-SAT problem. The name matching is a more general version of k-dimensional matching, where $k = 2$. To reply to your question, the 3-SAT problem is NP-complete, which maps directly to the 3-dimensional matching problem, which also is NP-complete. Thus, the k-SAT problem (and thus the k-dimensional matching) is another problem that is tractable in $Z^2$ and is NP-complete in $Z^k$ where $k > 2$.