Обґрунтування log f в теоремі ієрархії DTIME

Якщо ми подивимось на теорему ієрархії DTIME, то у нас з'явився журнал через накладні витрати при моделюванні детермінованої машини Тьюрінга універсальною машиною:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

У нас немає подібних накладних витрат для NTIME DSPACE. Основне обґрунтування випливає з деталей доказування, враховуючи різницю між тренажерами.

Моє запитання таке: не враховуючи деталізації доведення теореми ієрархії DTIME, чи є обґрунтування цього журналу чи це може бути лише наслідком доказування, і було б розумно уявити, що якщо потім $f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

На мою думку, вважаючи, що пояснення імітації є хорошим виправданням, слід самому виправдовуватися доведенням того, що якби у нас був кращий результат, то ми могли б створити краще моделювання.

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— Людовик Патей
джерело

Я думаю, що те, що ви написали в останньому абзаці, є менш вірогідним, ніж його протилежне. А саме, я не думаю, що в даний час ми можемо виключити можливість того, що більш сильне твердження може бути доведено іншим способом, ніж моделювання. З іншого боку, ми можемо виключити можливість того, що більш сильне твердження можна довести за допомогою симуляції , побудувавши релятивізований світ, де сильніший вислів не вдається.

— Цуйосі Іто

Наскільки я розумію, зменшення накладних витрат в теоремі детермінованої часової ієрархії було б результатом прориву. З одного боку, кілька результатів можна було б негайно посилити.

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— Андрас Саламон

Це дещо педантично, але якщо у вас є додаткові додаткові обмеження на f і g (стандартне може бути f і g, яке може бути сконструйоване часом), існують f і g такі, що f = o (g), і DTIME (f) = DTIME (г). Щоб побачити це, просто розглянемо незліченний набір усіх функцій x ^ i, з i реальним, 0 <i <= 1. Якщо теорема часової ієрархії була вірною для всіх пар таких функцій, ми отримаємо незліченний набір Мови, всі вирішувані машинами Тьюрінга. Це суперечить тому, що набір машин Тьюрінга є підрахунковим.

— Абель Моліна

@abel Я, звичайно, припускаю, що f і g є конструктивними за часом, як у теоремі ієрархії поточного часу.

— Людовик Патей

так, є обґрунтування дивлячись на поточний доказ, але повна відповідь на цю проблему / питання виявиться її необхідною, а не просто достатньою. наприклад, як зауважує AS вище, більш чітка межа є відкритою проблемою. у hopcroft / ullman 1976 вони зазначають, що коефіцієнт log (n) обумовлений зменшенням багатоканальної ТМ у 2-стрічковий ТМ, а також мають відповідне підтвердження цього зменшення. (разом з цим питанням, однак, завжди задавалися питанням, як ієрархічна форма thms буде виглядати по-різному для теорії складності, заснованої на односмугових ТМ, а не на тій, яка дозволяє багатосмуговим ТМ. Здається, пов'язана з цим питанням)

— vzn

Відповіді:

Теорема про ієрархію часу є предметом мого дипломного проекту, можливо, ви хочете переглянути коментарі до мого питання Нижнє межі та розділеність класів .

Повернувшись до цього питання та як це стосується того, що ви запитуєте, у мене з’явилася ідея, яка могла б показати, що багатотактне односмугове ТМ-моделювання, необхідне на підтвердження теореми, не може бути покращене. Таким чином, потрібен інший підхід, якщо ми хочемо покращити цей результат.

EDIT: Цей доказ невірний, точну причину див. У коментарях нижче. Зараз я редагую відповідь, щоб це відобразити.

Нехай - мова . $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

На одній стрічковій машині існує алгоритм (детальну інформацію про цей алгоритм ви можете знайти в главі 7.1.2 книги Сіпсера "Введення в теорію обчислення"). У цьому ж посиланні ви можете побачити, що мова є в o (n \ log n), якщо і лише якщо вона є регулярною. Kaveh також надає оригінальні документи для цього твердження у вищезазначеному питанні. $O(n \log n)$

У коментарях мого запитання Райан Вільямс ілюструє алгоритм для тієї ж проблеми, використовуючи 2-стрічковий ТМ. $O(n)$

Припустимо, що існує техніка для моделювання багатотактного ТМ в єдину стрічку ТМ, яка має час роботи , де - час виконання імітованого ТМ. Застосувавши його до машини, яку ілюструє Райан, ми отримали б одну стрічку TM, яка працюватиме в . Тому регулярний, що є протиріччям. Отже, робимо висновок, що накладні витрати $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$ це найкраще, що ми можемо зробити під час імітації мульти стрічкових верстатів із стрічковими верстатами.

Я усвідомлюю, що це сильне твердження, тому я можу помилитися в своєму трактуванні.

Навіть якщо існує метод , який дозволяє поліпшити цей результат, я вважаю , що це не представляється можливим , щоб відповідати результат для або . Моя інтуїція випливає з наступного факту: $NTIME$ $SPACE$

Є дуже відомий результат, який констатує . За припущенням, що я вважаю, цей результат покращується до , для будь-якого $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$ . Отже, дуже маленький недетермінований клас набагато потужніший, ніж будь-який детермінований. Отже, враховуючи, наскільки потужним є недетермінований час ресурсу, я би сподівався, що знадобиться більша кількість детермінованого часу, щоб зробити ТМ більш потужним, щоб компенсувати потужність недетермінізму.

— хазизоп
джерело

Потрібно квадратичний час для моделювання багатосмугової машини Тьюрінга на односмуговій машині. Мова паліндроми показують , що це необхідно: паліндроми можуть бути визнані в

час на два стрічкових машинах, але це вимагає час

на одній стрічці машині

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Лука Trevisan

Лука, звичайно, правильний (я очікував помилки через силу твердження). Моя провина: я поспішно переплутав стандартну односмугову ТМ з єдиною робочою стрічкою (з різною вхідною стрічкою без запису і, можливо, окремою вихідною стрічкою). Коли я зрозумів помилку, я спробував побачити , якщо

регулярність відносить до цієї моделі, але

показують , що це не так. Я редагую відповідь, щоб відобразити цей факт, сподіваюся, що запитувач @Monoid прийняв її за частину інтуїції.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— chazisop

Приклад, про який згадує Лука, стосується випадку, коли час дорівнює

. Цей конкретний випадок викликає занепокоєння в цілому через ненадійну поведінку односмугових машин у таких малих класах. Тож це не є перешкодою, якщо час

. Цікаво, що доказ сильної версії теореми ієрархії для

використовує не моделювання, а прямий аргумент (див. Hartmanis 1968).

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Каве

Для n-стрічкових ТМ результат жорсткої часової ієрархії, аналогічний теоремі про космічну ієрархію, був доведений Фурером у 1982 р. Фактор не потрібен. $\lg$

Коефіцієнт для теореми про ієрархію часу, викладений у вашому пості, застосовується лише для односмугових ТМ. Якщо ви з якихось причин не дуже прихильні до односмугової моделі, немає різниці між простором та часом щодо теорем ієрархії. $\lg$

Існують деякі причини та аргументи для використання односмугових ТМ для визначення класів часової складності, але використання односмугових ТМ для визначення класів складності не є універсальним, наприклад, див. Ленс Фортноу та Рахул Сантанам [2007], де вони використовують кілька стрічок. ТМ.

Оригінальною посиланням на теорему часової ієрархії є Генні та Стіарнс [1966]. Вони доводять теорему для двох стрічкових машин. Теорія класичної рекурсії Одіфредді цитує їх та Хартманіса [1968] та описує доказ, схожий на той, що в книзі Сіпсера.

Однак доказ одного ТМ-стрічки на папері Хартманіса не використовує моделювання просто. Він розрізняв два випадки: 1. час запуску і 2. час запуску . $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

У першому випадку використовується моделювання, і, здається, можна позбутися фактора якщо моделювання можна зробити більш ефективно. $\lg$
У другому випадку документ безпосередньо дає мову для поділу і зовсім не використовує моделювання. Тут використовуються особливі властивості односмугових ТМ з підквадратичним часом роботи.

Слід зазначити, що односмугові ТМ із часом не є настільки надійними і на односмугових ТМ є квадратичні нижні межі (наприклад, для Паліндромс), тоді як двосмугова ТМ може вирішити такі проблеми за лінійний час. $o(n^2)$

Як я вже говорив вище, якщо ви з якихось причин не прихильні до односмугової моделі ТМ, навіть коли час є субквадратичним, немає прогалини для заповнення, теорема про ієрархію часу є максимально жорсткою.

PS: якщо ми використовуємо багатосмугові ТМ, тобто машина Тьюрінга в класі може мати фіксовану, але довільну кількість стрічок результат Фюрера не застосовується.

Мартін Фюрер, "Туга детермінована ієрархія часу ", 1982 рік
П’єргіорджо Одіфредді, "Теорія класичної рекурсії", т. II, 1999 (стор. 84)
Юріс Хартманіс, " Обчислювальна складність машинних обчислень на одній стрічці Тюрінга ", 1968 р.
Ф. Генні та Р. Е. Стіарнс, " Двохсторонне моделювання багатотапних машин Тюрінга ", 1966
Доповідь Ленса Фортнова та Рахула Сантанама " Ієрархії часу: опитування ", 2007 р.

— Каве
джерело

Чи не застосовується результат Фюрера лише у випадку, коли кількість стрічок розглянутих машин Тюрінга є фіксованою, тобто говорить про класи

- кількість стрічок.

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— Маркус Блазер

@Markus, так, це правильно, він схожий на корпус з однією стрічкою. Єдина відмінність полягає в тому, що кількість стрічок більше однієї, але вона все ще фіксована, наприклад, 2 стрічки.

— Каве

Дивіться також Кшиштоф Лорис, " Результати ієрархії нового часу для детермінованих ТМ ", 1992. Інша довідка - Казуо Івама, Чузо Івамото, " Покращена ієрархія часу та простору односмугових офлайн-ТМ ", 1998, що покращує коефіцієнт журналу до журнал журналу для односмугових ТМ.

— Каве

Для фіксованої кількості стрічок, більших за одиницю, ) для часу, сконструйованого . Логарифмічна накладка походить від теореми скорочення стрічки, де будь-яка кількість стрічок може бути перетворена на дві стрічки (або навіть просто в одну стрічку і стек і з просто забуваючим рухом). $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

Якщо кількість стрічок не фіксовано, у нас насправді не існує техніки, щоб конструктивно довести не проходячи теорему скорочення стрічки. Імовірно, що для кожного , стрічки машини не можуть бути імітовані стрічковими машинами без логарифмічних накладних витрат. $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

Однак це не означає, що теорему про ієрархію часу не можна вдосконалити, або що не вдається. $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Насправді ми вже маємо наступне.

Теорема: Для кожного і кожного виду ( і раціональний; або ), $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ . $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Доведення: Якщо кожну мову з алгоритмом рішення можна визначити за час , то, додавши введення, кожна мова з алгоритм рішення може бути визначений в $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ час (де фіксовано), і так для кожної постійної , $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ , що суперечить теоремі часової ієрархії. $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ , but we have not ruled out that even for $ε=1$ and $f(n)=n^2$ , the least such $k$ is >BB(BB(1000)) where BB is the busy beaver function.
* We do not know that the inclusion is robust. A $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ algorithm will fail for some input, but we have not proved that it fails for some input for all but finitely many input sizes (though it would be very surprising if it did not).

— Dmytro Taranovsky
джерело

Awesome answer!! :)

— Michael Wehar