Проблема з мінімальним з'єднанням фліп

Сьогодні я сформулював таку проблему, граючи зі своїм GPS. Ось :

Нехай - спрямований графік такий, що якщо то (v, u) \ notin E , тобто G - орієнтація нижнього непрямого графа. Розглянемо наступні операції:e = ( u , v ) ∈ E $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• $Flip(u,v)$ : замінити край $(u,v)$ на край $(v,u)$
• $undirect(u,v)$ : зробіть край $(u,v)$ непрямим

Нехай $s,t \in V$ - дві спеціальні вершини. Розглянемо такі проблеми оптимізації:

• Підключення до мінімуму перевертання : З огляду на $G$ та дві вершини $s,t$ знайдіть мінімальну кількість ребер, які потрібно перевернути, щоб зробити напрямлений шлях від $s$ до $t$ .
• Міні-фліп із сильним підключенням: з огляду на $G$ знайдіть мінімальну кількість країв, які потрібно перевернути, щоб зробити G міцним з'єднанням $G$. Якщо неможливо зробити $G$ сильно з'єднаним, перевернувши краї, тоді виведіть NO.
• Мінімальна непряма потужність підключення: З огляду на $G$ знайдіть мінімальну кількість ребер, які потрібно непрямо орієнтувати, щоб зробити $G$ міцно з'єднаним.

Зауважте, що вам не дозволяється додавати "нові" краї. Ви змінюєте лише існуючі краї, використовуючи вищезазначені операції. Чи відома ця проблема в літературі. Якщо так, то які відомі результати?

Короткий зміст: Проблеми можна вирішити за багаточлен, знайшовши орієнтовану мінімальну вартість, орієнтовану на орієнтацію.

Більш детально: Теорема Роббінса говорить про те, що краї непрямого графа можуть бути орієнтовані так, що отриманий спрямований графік сильно з’єднаний тоді і лише тоді, коли непрямий графік з'єднаний двома краями. Існує кілька розширень, і одне з них говорить, використовуючи алгоритм субмодулярного потоку багаточленного часу, ми можемо вирішити наступну задачу в поліноміальний час: Давши ненаправлений графік з крайовою вартістю (для обох напрямків), знайти орієнтацію мінімальної вартості, яка робить графік сильно пов'язаний. Наприклад, див . Папір Франка . Більш пізній алгоритм надають Івата та Кобаяші .

Цей результат повинен бути корисним для вирішення поставлених проблем. Першу проблему можна вирішити запропонованим методом Томек . Тож ми зосередимось на інших проблемах.

Для другої задачі ми використовуємо ту саму побудову графа, зваженого по краях, як і Томек, і знаходимо орієнтовану орієнтовану мінімальну орієнтацію в поліноміальний час.

Для третьої проблеми, щоб дозволити обидва напрямки для кожного краю, ми дублюємо кожен край, а потім застосовуємо ту саму конструкцію та той же алгоритм. Це допустиме зменшення, оскільки використання одного і того ж напрямку для дублюваних ребер не впливає на міцну зв’язність.

Це відповідь на першу проблему:
Розгляньте новий зважений графік , де (ваги всіх ребер, що знаходяться в дорівнюють 0, а ваги "обернених" ребер - 1). Тепер вам просто потрібно знайти найкоротший шлях від до .E ′ = { ( u , v , 0 ) | ( u , v ) ∈ E } ∪ { ( v , u , 1 ) | ( u , v ) ∈ E } G s $G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$$s$$t$

Мін-Фліп вул зв'язність NL-повним , якщо ви фраза проблема рішення , як «Чи є вулиця шлях , який вимагає гортати в більшості ребер?». Це важко для NL, оскільки він містить з'єднання st як особливий випадок для , і це в NL, тому що ви можете здогадатися про шлях від до який використовує кілька перевернутих країв і проходити його по одному краю за один раз, зберігаючи лічильник переконайтеся , що не більше ребра не рухається в зворотному напрямку.k = 0 s t $k$$k=0$$s$$t$$k$

У моїй недавній книзі «З’єднання в комбінаторній оптимізації» (Oxford University Press, 2011) центральною темою є проблеми орієнтації графіків, включаючи варіанти, обговорені вище. Відомо, що графік, пов'язаний 2-краєм, має орієнтацію, пов'язану з к-ребром (це теорема Неша-Вільямса). Якщо графік не пов'язаний 2-краєм, може бути зацікавлений у вирішенні питання про те, чи є хороша задана підмножина F ребер (в тому сенсі, що F має орієнтацію так, що отриманий змішаний графік пов'язаний з k-краю). У книзі я описав, як цю проблему можна вирішити за багаточлен. Але я не знаю, як знайти мінімальний хороший набір кардинальності.

Андрас Френк

База min-Flip st-connectivity Base: обчисли всі вершини, доступні за допомогою s (T). якщо t знаходиться в T зупинці. Індуктивний: розгляньте всі вершини, що не знаходяться в T, які примикають до T, одним поворотом і викличте це U. Обчисліть вершини, доступні з U, викликайте це V. Якщо t є V стоп, інакше додайте V до T і продовжуйте.

Міні-фліп із сильним підключенням Ви повинні мати на увазі непрямий характер, оскільки у вас виникнуть проблеми з: A -> B