Алгоритм сортування пар чисел

Я вже задавав це питання на stackoverflow , але, можливо, воно краще підходить для цього сайту.

Проблема полягає в наступному:

У мене є N пари пар цілих чисел. Мені потрібно їх сортувати. Кінцевий вектор пар повинен бути відсортований неодноразово за першим числом у кожній парі та несильно другим у кожній парі. Кожна пара може змінювати перший і другий елементи в будь-якій точці. Іноді рішення немає, тому мені потрібно кинути виняток тоді.

Приклад:

in pairs:
1 5
7 1
3 8
5 6

out pairs:
1 7     <-- swapped
1 5     
6 5     <-- swapped
8 3     <-- swapped

^^ Без заміни пар неможливо побудувати рішення. Тож ми поміняємо парами (7, 1), (3, 8) і (5, 6) і будуємо результат. або

in pairs:
1 5
6 9

out:
not possible

Спасибі

редагувати:

Том Сіргедас на SO запропонував найкраще рішення . Це реально просто реалізувати і працює в O (log (n) * n). Дякую всім за відповіді та інтерес. Мені дуже сподобався аналіз mjqxxxx.

$p_1=(a_1,b_1)$$p_2=(a_2,b_2)$$(a_1 \le a_2 \wedge b_1 \ge b_2)$$(a_2 \le a_1 \wedge b_2 \ge b_1)$$p_1$$p_2$$p_1 \preceq p_2 \equiv p_2^{*} \preceq p_1^{*}$$*$$p_1$$p_2$$p_1^{*}$$p_2$$p_1$$p_2$

$C_1$$C_2$$p_1 \in C_1$$p_2 \in C_2$$2$$2$-кольорова, рішення не існує, і ми можемо кинути виняток. Якщо такий є, то поміняйте місцями всі вузли у всіх компонентах одного кольору. Зараз ми гарантуємо, що будь-які два вузли не сумісні без заміни, і тому ми можемо правильно сортувати список пар, використовуючи визначений частковий порядок.

$O(N^2)$

ОНОВЛЕННЯ: Набагато більш елегантною є наступна конструкція. Якщо пара пар не сумісна без заміни, з'єднайте відповідні вузли кромкою (змушуючи їх бути різними кольорами в будь-якому двоколірному кольорі). Якщо пара пар не сумісна з однією заміною, з'єднайте відповідні вузли ланцюжком довжиною 2 (змушуючи їх бути однаковим кольором у будь-якій двоколірності). Є рішення, якщо і лише тоді, коли отриманий графік є двоколірним. Щоб побудувати рішення із синьо-червоного забарвлення графіка, поміняйте місцями лише ті пари, відповідні вузли яких є синіми, та сортуйте отриманий список.

Нехай X (a, b) позначає двійкову змінну, яка вказує, чи слід замінити пару (a, b). Розглянемо будь-яку пару різних пар (a, b) і (c, d) і запишіть бінарне обмеження для змінних X (a, b) і X (c, d), яке задовольняється, якщо і тільки якщо дві пари знаходяться в правильний порядок після виконання свопів, зазначених X (a, b) та X (c, d) відповідно. Сполучення всіх таких бінарних обмежень - це формула 2-SAT у n змінних та O (n ^ 2), яка задовольняє тоді і лише тоді, коли вихідна проблема має рішення. Це можна перевірити в часі O (n ^ 2).

Що стосується оригінального рішення, просто зауважте, що всі обмеження мають вигляд X (a, b) = X (c, d) або X (a, b)! = X (c, d) (або ще X (a, б) = константа), тому простий алгоритм "злиття та перевірка на двосторонність" працює:

Почніть з того, щоб кожен X був представником для набору, що містить тільки себе; то для кожної пари (X, Y) такої, що X = Y є обмеженням, зробіть компоненти, до яких належать X і Y; і нарешті перевірте, що контрактний графік, де кожен компонент є однією вершиною, а деяке ребро приєднується до компонентів, що містять X і Y, якщо співвідношення X! = Y має дотримуватися, є двостороннім.