Яке «правильне» визначення верхньої та нижньої меж?

19

Нехай - найгірший час запуску проблеми при введенні розміру . Давайте зробимо задачу трохи дивною, фіксуючи для але для . $f(n)$ $n$ $f(n) = n^2$ $n=2k$ $f(n) = n$ $n=2k+1$

Отже, яка нижня межа проблеми? Я зрозумів, що це лише нижня межа . Але ми знаємо, що означає, що існує константа , така, що для всіх , , що не відповідає дійсності. Таким чином, здається, що ми можемо сказати лише . Але зазвичай ми будемо називати, що проблема має нижню межу , правда? $f(n)$ $f(n) = \Omega(n^2)$ $k$ $n_0$ $n > n_0$ $f(n) > kn^2$ $f(n) = \Omega(n)$ $\Omega(n^2)$
Якщо припустити, що , це означає, що існує константа , така, що для всіх , . Припустимо також, що проблема має час роботи . Якщо ми можемо звести цю проблему для всіх праймерів до іншої проблеми (з однаковим розміром входу), чи можемо ми сказати, що час виконання іншої проблеми має нижню межу ? $g(n) = \Omega(n^2)$ $k$ $n_0$ $n > n_0$ $g(n) > kn^2$ $g(n)$ $n$ $\Omega(n^2)$

cc.complexity-theory time-complexity

— Вей Ю
джерело

12

Ось чому математики використовують lim sup та lim inf.

— Пітер Шор

1

Тому я думаю, що я розумію різницю. Я думаю, що люди з пошти просто зрозуміють Омегу як нескінченно часто. Але якщо я хочу зробити чітке розмежування, чи можу я використати якісь позначення, крім розширення?

— Вей Ю

3

@Wei Yu: lim sup та lim inf. Ви кажете для деякої постійної якщо ви хочете сказати, що нескінченно часто, і якщо ви хочете сказати для всіх досить великих . Особливо, якщо ви розмовляєте з математиками.

lim sup \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

lim inf \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

— Пітер Шор

12

@Wei: Для більшості теоретиків складності (див. Ланс нижче), ваша функція θ (n ^ 2); для більшості алгоритмів (див. Knuth або CLRS) ваша функція is (n ^ 2) і Ω (n). Обидві позначення майже, але не повністю, є стандартними у своїх підспільнотах; щоб гірше було, ці дві підгрупи сильно перекриваються! Отже, якщо важливо, яку нотацію ви використовуєте, ви повинні чітко сказати, яку нотацію ви використовуєте. (На щастя, це рідко має значення.)

— Jeffε

2

@Jeffe. Я вважаю, що ви повинні опублікувати свій коментар як відповідь.

— chazisop

13

Правильне визначення полягає в тому, що існує деякий такий, що для нескінченно багатьох , . Нескінченно часто визначення нижчих меж вирішує ваші проблеми і те, як ми використовуємо це на практиці. $f(n)=\Omega(n^2)$ $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

Я написав повідомлення про це ще в 2005 році.

Деякі підручники отримують таке визначення правильно, деякі - ні.

— Ленс Фортнов
джерело

14

Кнут не погоджується з вами: portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— Jeffε

4

CLRS та Wikipedia також не згодні з вами. Визначення нескінченності часто є помітною альтернативою, але, здається, використовується менш широко.

— Анонімний

Я думаю, що всі ці визначення погоджуються, коли набір винятків є мірою 0.

— Картер Таціо Шенвальд

2

Проблема з визначеннями "нескінченно часто" полягає в тому, що вони зазвичай не виключають "нескінченно часто не". Таким чином, ми маємо жахливий наслідок, що з цим визначенням але також , де і означають строгі порядки в деяких сенс. Мені це дуже не подобається. Принаймні, пропозиція @ Картера щодо винятку міри 0 є трохи менш жахливою, але все ж дозволяє чіткіше замовлення, ніж звичайне.

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— Андрас Саламон

2

@Jukka: Ні, я тут зловживаю . Як ви натякаєте, я повинен виправити міркування, щоб використовувати замість . Тому дозвольте мені викласти фактичне заперечення без використання або . З "нескінченно часто" є аномалія, що , , ще . Тож навіть не утворює попереднього замовлення.

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— Андраш Саламон

4

З визначенням Кнута ви можете стверджувати лише . Як ви зауважуєте, це не інтуїтивно зрозуміло і трапляється для функцій, які Вітаній і Мертенс називають "дикими". Вони пропонують визначитись $f(n)\in\Omega(n)$

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : g (n) \geq δ f (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

(Це те саме, що визначення Ланса.) З цим визначенням . $f(n)\in\Omega(n^2)$

— Маркус Рітт
джерело

2

Я не знаю про найбільш широко використовувані, але я вважаю, що знаю про найдавніше використання (для комп’ютерної науки все одно).

У статті 1965 року Хартманіса та Стірнс "Про складність алгоритмів обчислювальної техніки" слідство 2.1:

Якщо і - часові функції, такі що то $U$ $T$ $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

де - клас складності всіх задач, які можна обчислити в . T (n) має відповідати для деякого цілого числа і всіх і , але це не повинно бути конструктивно сконструйованим. $S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

Ваша функція підкоряється першому правилу для але не виконує другого правила. $k = 1$

Слідство 2.2 - це зворотне вищезазначене і використовує граничну супрему, але все ж має ці вимоги. Я здогадуюсь, що алгоритми стали складнішими за ці роки, можливо, вимоги були послаблені.

— хазизоп
джерело

2

Я думаю, що ми повинні розрізняти дві речі:

нижня межа для функції
нижня межа для проблеми (алгоритм)

Для функцій, коли ми фіксуємо порядок, з нього випливає визначення нижньої / верхньої межі. Якщо відношення порядку є асимптотичним мажоризацією (ігнорування постійних факторів)

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

$O$ $\Omega$

$\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ $o(t(n))$

— Каве
джерело