Співвідношення між фіксованим параметром та алгоритмом наближення

Фіксований параметр і наближення - це абсолютно різні підходи до вирішення важких проблем. Вони мають різну мотивацію. Наближення шукає швидшого результату з приблизним рішенням. Фіксований параметр шукає точне рішення з часовою складністю з точки зору експоненціальної або деякої функції k і поліноміальної функції n, де n - вхідний розмір, а k - параметр. Приклад .$2^kn^3$

Тепер моє запитання, чи є верхній або нижня межа результату на основі співвідношення між фіксованим параметром і наближенням підходами або вони зовсім не мають ні одного прикладу relationship.For для завдання називається важко для деякого має нічого спільного з алгоритмом c-наближення або PTAS. будь ласка, надайте посиланняW [ i ] i > $P$$W[i]$$i>0$

Існує декілька зв'язків між алгоритмами параметризованої складності та наближеннями.

Спочатку розглянемо так звану стандартну параметризацію проблеми. Тут параметр - це те, що ви б оптимізували в оптимізаційній версії проблеми (розмір кришки вершини для проблеми Vertex Cover, ширина розкладу дерева для проблеми Treewidth тощо). Давайте конкретно розглянемо вершину обкладинки. Будь-яке ядро ​​з лінійною кількістю вершин для Vertex Cover передбачає алгоритм апроксимації поліноміального часу з постійним коефіцієнтом: у приблизне рішення покладіть всі вершини, які були примушені до рішення алгоритмом кернелізації, і всі вершини кернелізованого екземпляра . З іншого боку, нижні межі на коефіцієнт апроксимації означають нижчі межі розміру ядра. Наприклад, у рамках програми Unique Games, Khot and Regev (JCSS 2008)виключають алгоритми апроксимації для Vertex Cover з співвідношенням будь-якого , що виключає ядро ​​для вершинного покриття з не більшістю вершин , також .$c<2$$ck$$c<2$

EDIT: Аргументація нижньої межі ядра в попередньому абзаці дуже неформальна, і наскільки мені відомо, можна зрозуміти, чи можна такі нижчі межі щодо розміру ядра довести навіть для Vertex Cover. Як в коментарях зазначає @Falk, аргумент стосується більшості (усіх?) Відомих ядер. Однак я не бачу, як можна було б виключити існування алгоритмів кернелізації, коли можливе рішення кернелізованого екземпляра має інший коефіцієнт наближення, ніж відповідне рішення у початковій інстанції.

Потім виникає проблема PTAS проти FPTAS. Якщо ми хочемо знайти рішення в межах від оптимального, ми можемо параметризувати по . Потім PTAS відповідає алгоритму XP у параметризованому налаштуванні, тоді як FPTAS відповідає FPT-алгоритму. Для нижньої межі наближення ми не можемо сподіватися на EPTAS для будь-якої проблеми, стандартна параметризація якої W [1] -hard: запуск EPTAS з вирішить проблему саме в FPT час.$(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$\epsilon=1/(k+1)$

Нарешті, алгоритм наближення FPT - це алгоритм із часом виконання FPT та коефіцієнтом наближення, який може залежати від параметра. Наприклад, стандартна параметризація задачі про ширину клієнтської ширини має алгоритм наближення FPT з коефіцієнтом наближення (Oum, WG 2005) , тоді як стандартна параметризація незалежного домінуючого набору не має апроксимації FPT алгоритм зі співвідношенням продуктивності для будь-якої обчислюваної функції , якщо тільки FPT = W [2] (Downey et al., IWPEC 2006) . Дивіться (Marx, Комп'ютерний журнал 2008) для опитування наближення FPT.$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$$g$

Відома теорема [1, теорема 3.1], що характеризує клас наближення через параметризований клас :$FPTAS$$PFPT$

Нехай є масштабованою задачею оптимізації . Тоді має тоді і тільки тоді, коли знаходиться в .$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$$NP$$Q$$FPTAS$$Q$$PFPT$

У свою чергу, визначається як:$PFPT$

завдання оптимізації є многочлен фіксованого параметра поступливим ( ) , якщо його параметрезованих версія вирішувана під час , де- розмір вхідного екземпляра .$NP$$Q$$PFPT$$O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$$|x|$$x$

Інші характеристики для двох класів наближення запропоновані в [2, теорема 6.5].

Проблема є

• в тоді і тільки тоді, коли він має і його стандартна параметризація знаходиться в .p t a s ∞ X P $PTAS$$ptas^{\infty}$$XP^w$

• $FPTAS$$fptas^{\infty}$$PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$$(XP)PFPT^w$$\frac{1}{\epsilon}$

1. Схеми наближення поліноміального часу та параметризована складність . J. Chen та ін. / Дискретна прикладна математика 155 (2007) 180 - 193.
2. Структура поліноміально-часового наближення . EJ van Leeuwen та ін. Технічний звіт UU-CS-2009-034, грудень 2009 року.