Будь-яка алгоритмічна проблема має часову складність, в якій переважає підрахунок?

Те, що я називаю підрахунком, - це проблема, яка полягає у знаходженні кількості рішень функції. Точніше, задавши функцію $f:N\to \{0,1\}$ (не обов'язково чорний ящик), приблизний $\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$.

Я шукаю алгоритмічні задачі, які передбачають певний підрахунок, на які на складність часу сильно впливає ця основна проблема підрахунку.

Звичайно, я шукаю проблеми, які самі не рахують проблем. І було б дуже вдячно, якщо ви могли б надати документацію для цих проблем.

Це продовження відповіді Суреша. За його словами, в обчислювальній геометрії існує багато проблем з побудовою, де складність виведення є тривіальною нижньою межею часу роботи будь-якого алгоритму. Наприклад: площинні розташування ліній, тривимірні діаграми Вороного та плоскі графіки видимості мають комбінаторну складність у найгіршому випадку, тому будь-який алгоритм, який будує ці об'єкти, тривіально вимагає часу в гіршому випадку. (Існують алгоритми -time для всіх трьох цих проблем.)Ω ( n 2 ) O ( n 2$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

Але подібні обмеження передбачаються і для вирішення проблем вирішення . Наприклад, давши набір n ліній у площині, як легко ви можете перевірити, чи проходять якісь три лінії через загальну точку? Ну, ви могли б побудувати розташування ліній (плоский графік, визначений їх точками перетину та відрізками між ними), але це потребує часу . Одним з головних результатів моєї докторської дисертації було те, що в межах обмеженої, але природної моделі розрахункового дерева, для виявлення потрійних перехресть потрібен час . Інтуїтивно ми повинні перерахувати всі точки перетину і шукати дублікати.Ω ( n 2 )$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$

Аналогічно існує набір чисел, де потрійні елементи дорівнюють нулю. Тому будь-який алгоритм (модельований певним класом дерев рішень) для перевірки того, чи містить даний набір три елементи, сума яких дорівнює нулю, вимагає часу . (Можна зрубати деякі журнали за допомогою паралелізму бітового рівня, але що завгодно.)Ω ( n 2 )$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

Інший приклад, також з моєї тези, - це проблема Хопкрофта: Враховуючи, що в площині точок і ліній, чи містить будь-яка точка будь-яку пряму. Найгірше число випадкових точок точок лінії, як відомо, є . Я довів, що в обмеженій (але все ж природній) моделі обчислення потрібен час , щоб визначити, чи існує навіть одна частота падіння точки. Інтуїтивно ми повинні перерахувати всі поблизу випадкових випадків і перевірити кожну, щоб перевірити, чи справді це випадковість.п Θ ( п 4 / 3 ) Ω ( п 4 / 3 ) Θ ( п 4 / 3$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

Формально ці нижчі межі все ще є лише домислами, оскільки вони вимагають обмежених моделей обчислення, які спеціалізуються на розглянутій проблемі, особливо для проблеми Хопкрофта). Однак, доведення нижчих меж цих проблем в моделі оперативної пам'яті, ймовірно, так само важко, як і будь-яка інша проблема з нижньою межею (тобто, у нас немає поняття) - див. Статтю Патраску та Вільямса SODA 2010, що стосується узагальнення 3SUM до експоненціального часу гіпотеза.

Я не зовсім впевнений, що це саме ви маєте на увазі, але є маса проблем, які не здаються, що вони рахують проблеми, проте найкращий спосіб, який ми знаємо, як їх вирішити, - це підрахунок об'єктів. Однією з таких проблем є виявлення, чи містить графік трикутник. Найшвидший відомий алгоритм - обчислити слід куба матриці суміжності, що в 6 разів перевищує кількість трикутників у (непрямому) графіку. Це займає час O ( ), використовуючи алгоритм множення матриці Копперсміта-Винограда, і його вперше помітили Ітаї та Роде в 1978 р. Так само найкращий спосіб, який ми знаємо, щоб виявити k-кліку - це знайти кількість k-кліків, знову ж таки через матричне множення.$|V|^{2.376}$

Valiant довів , що завдання знаходження перманенту матриці є повною для #P . Дивіться сторінку вікіпедії у цьому питанні. #P - клас складності, відповідний підрахунку кількості приймаючих шляхів машини NP.

Bipartite Planar (та рід журналів) Perfect Matching - це проблема, коли алгоритм Кастеліна для підрахунку плоских збігів (розширений Galluccio та Loebl та паралельний Kulkarni, Mahajan & Vardarajan) відіграє важливу роль навіть у пошуковій версії проблеми. Усі відповідні посилання можна знайти в наступному документі:

Деякі ідеальні поєднання та ідеальні напів інтегральні поєднання в NC. Рагхав Кулкарні, Меєна Махаджан та Кастурі Р. Варадараджан. Чиказький журнал теоретичних комп'ютерних наук, Том 2008 Стаття 4.

Я сприйматиму "сильний вплив" як м'яке обмеження, а не як зменшення. У цьому сенсі МНОГО проблем в обчислювальній геометрії є періоди ходу, які обмежені деякою комбінаторною структурою, що лежить в їх основі. наприклад, складність обчислення компонування фігур безпосередньо пов'язана з внутрішньою складністю таких компонувань.

Інший, актуальний приклад цього, полягає в тому, що різні проблеми в узгодженні точкових моделей мають час роботи, який зводиться до оцінки величин, таких як кількість повторених відстаней у наборі точок тощо.

Не впевнений, що це те, що ви шукали, але фазові переходи проблем NP-Complete значною мірою покладаються на ймовірнісні аргументи, які є лише іншою формою підрахунку.

LLL використовувались для вирішення деяких проблем із низькою щільністю «Підмножина підсумків», успіх яких спирається на існуючі з високою вірогідністю короткі решітки решітки, які відповідають критеріям рішення підмножини підмножини. Поширення опитування опирається на структуру простору рішення (та кількість рішень, оскільки він фіксує змінні) для пошуку рішень біля критичного порогу.

Боргс, Чайес і Піттель значною мірою повністю охарактеризували фазовий перехід (Уніфікованої) проблеми розподілу випадкових чисел і, таким чином, охарактеризували, скільки рішень можна очікувати для даного (випадкового) екземпляра задачі про розподіл чисел.