Асимптотика для зміни монети

Дано номіналів монет, з і - випадкові числа, рівномірно розподілені в діапазоні . Асимптотично, для якої частини монет алчний алгоритм генерує оптимальні зміни, використовуючи цей набір номіналів? $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

Відповідь відома 3 номіналами ; а як щодо загального випадку?

ds.algorithms

— Ганеш
джерело

Встановлення ймовірності для 4 деномінацій висловив Тайн Пламбек, який також надав вираз щодо ймовірності для 3 конфесій (див. Посилання, надане ОП). ОП задає більш загальне питання щодо асимптотичної поведінки цієї ймовірності. Це, можливо, буде більш підходящим для математики.SE та MO, з асимптотиками тегів. @Ganesh: Яка ваша мотивація TCS чи причина тегу ds.algorithms?

— Андрас Саламон

@ Андрас, це дуже велика проблема теорії складності. Наприклад, якщо жадібний підхід отримує оптимальне рішення, скажімо, 90% часу, я також можу забути динамічне програмування і погодитись на неоптимальні рішення решта 10% часу. Можливо, це більше доречно в Math. *, Але мотивація полягає в TCS. Нарешті, "правильний тег" уникнув мене - тому я подумав, що ds.algorithms - найкраще наближення.

— Ганеш

Це не відповідь, але, можливо, це направить вас або когось іншого в правильному напрямку.

Я знайшов статтю Д. Козена та С. Закса під назвою "Оптимальні межі для проблеми, що змінюються", де вони дають умови, коли алгоритм жадної зміни змін екземпляра монети є оптимальним. Я буду використовувати їх позначення.

$m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < x < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

Вони продовжують це показувати

$x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G (x) \leq G (x - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

Це дає нам "ефективний" (до псевдополіномічного часу) тест, щоб визначити, жадібний екземпляр зміни монети чи ні.

Використовуючи вищесказане, я провів коротке моделювання, результати якого побудовані на шкалі журналу журналу нижче

введіть тут опис зображення

$m$ $[1 \cdots N]$

$m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) \propto N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ) які не є рівномірно розподіленими. Можливо, дивлячись на інші дистрибуції для створення номіналів монети, це дасть нетривіальні результати у великому системному ліміті. Наприклад, розподіл закону про владу може дати номінали монет, більш схожі на американські.

— user834
джерело