Для якого k PLANAR NAE k-SAT в P?

Проблема не всіх рівних -SAT (NAE -SAT) з урахуванням набору застережень над набором булевих змінних, таким чином, що кожне застереження містить максимум літералів, запитує, чи існує присвоєння істини змінних таким, що кожен пункт містить принаймні один істинний і хоча б один неправдивий буквальний текст.k C X $k$$k$$C$$X$$k$

Проблема PLANAR NAE -SAT - це обмеження NAE -SAT до тих випадків, коли графік частоти падінь і (тобто графік частин і з ребром між і якщо і лише якщо або належить ), є площинним.k C X C X x ∈ X c ∈ C x ¯ x$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

Відомо, що NAE 3-SAT не є повним NP (Гарі та Джонсон, Комп'ютери та нездатність; Посібник з теорії NP-повноти), але PLANAR NAE 3-SAT знаходиться в P (див. Планар NAE3SAT знаходиться в P, B Морет, новини ACM SIGACT, том 19, випуск 2, літо 1988 року - на жаль, я не маю доступу до цієї статті).

Чи PLANAR NAE -SAT в P для деяких ? Чи є значення для якого було показано, що воно NP-повне?k ≥ 4 $k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT знаходиться в P для всіх значень .$k$$k$

Причина полягає в тому, що ми можемо зменшити PLANAR NAE -SAT до PLANAR NAE -SAT. Нехай є екземпляром PLANAR NAE -SAT, і припустимо, містить пункт з . Введіть нову змінну та замініть двома пунктами NA_1 C_1 та C_2 . C_1 містить 3 літерали \ ell_1 , \ ell_2 та v_C , тоді як C_2 містить k-1 літерали3 ϕ k ϕ C ℓ 1 , ℓ 2 , … , ℓ k v C C C 1 C 2 C 1 3 ℓ 1 ℓ 2 v C C 2 k - 1 ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , … , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$ . Неважко помітити, що є задоволеним, якщо є і що перетворення зберігає планарність. Тепер ми можемо неодноразово застосовувати цю процедуру до пунктів, щоб в кінцевому підсумку отримати екземпляр NAE -SAT за бажанням.C 1 ∧ C 2 ϕ ′$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$