Обмеження розриву між квантовою та детермінованою складністю запитів

Хоча відомі експоненціальні розділення між квантовою складністю запиту з обмеженою помилкою ( $Q(f)$ ) та детермінованою складністю запиту ( $D(f)$ ) або рандомізованою складністю запитів з обмеженою помилкою ( $R(f)$ ), вони застосовуються лише до певних часткових функцій. Якщо парціальні функції мають деякі спеціальні структури, то вони також поліноміально пов'язані з $D(f) = O(Q(f)^9))$ . Однак мене найбільше турбують загальні функції.

У класичному документі було показано, що $D(f)$ обмежений $O(Q(f)^6)$ для загальних функцій, $O(Q(f)^4)$ для монотонних загальних функцій, а $O(Q(f)^2)$ для симетричні загальні функції. Однак відомі не більше квадратичного поділу для подібних функцій (це розділення досягається $OR$наприклад). Наскільки я розумію, більшість людей здогадується, що для загальних функцій ми маємо $D(f) = O(Q(f)^2)$ . За яких умов була доведена ця гіпотеза (крім симетричних функцій)? Які найкращі поточні межі щодо складності дерева рішень з точки зору складності квантового запиту для загальних функцій?

Наскільки я знаю, загальні межі, які ви заявляєте, по суті є найбільш відомими. Трохи змінивши модель, Мідріаніс показав межу, що , де Q E ( f ) - точна квантова складність запиту f ; Існують також більш жорсткі межі, відомі з точки зору односторонньої помилки (див. Розділ 6 цього документу ).$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

З точки зору більш конкретних, але все-таки загальних класів функцій, існує стаття Барнума і Сакса, яка показує, що всі функції зчитування одноразово на змінних мають квантову складність запиту Ω ( $n$.$\Omega(\sqrt{n})$

Незважаючи на те, що цей прогрес обмежений, зафіксовано значний прогрес у нижній межі складності квантових запитів конкретних функцій; Докладні відомості див. у цьому огляді (або, наприклад, більш пізній документ Рейхардта, який доводить, що найзагальніша версія пов'язаного '' противника '' характеризує квантову складність запитів).

Мені подобається відповідь Ешлі Монтанаро, але я думав, що я також включатиму набір функцій, для яких відома гіпотеза.

Набір функцій, який часто цікавить, - це функції з постійними розмірами 1-сертифікатів. Цей клас проблем включає такі речі, як , виразність, зіткнення, пошук трикутників та багато інших проблем (не у сімействі HSP), які, як було показано, мають складність розділених запитів.$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Деталі:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$f ( x ) = $C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Ви можете показати, що . Потім ви можете використовувати алгоритм , представлений в Бурман і де Вольф опитування , щоб показати , що:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Якщо ми обмежимо увагу на властивості графіків, то ми можемо довести трохи покращені межі порівняно із загальними межами, які ви згадуєте:

У класичному документі було показано, що обмежений для загальних функцій, для монотонних загальних функцій та для симетричних сумарних функцій.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

По-перше, я думаю, що 6-я обмежена потужність може бути покращена до 4-ї потужності для властивостей графіка. Це випливає з [1], де вони показують, що будь-яка властивість графа має складність запиту щонайменше , де - вхідний розмір, що є квадратичним у кількості вершин. Звичайно , класична складність запиту не більше .Н $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

Четверта межа потужності для монотонних загальних функцій може бути покращена до 3-ї потужності для властивостей монотонного графа. Це випливає з неопублікованого спостереження Яо і Санти (згадане в [2]), що всі властивості монотонного графіка мають складність квантового запиту .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Сонце, X .; Яо, AC; Шенгі Чжан, "Властивості графіка та кругові функції: наскільки низька може бути складність квантового запиту?", "Комп'ютерна складність, 2004.". 19-а щорічна конференція IEEE від, т. №, стор.286,293, 21-24 червня 2004 р. Doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Магнез, Фредерік; Санта, Міклош; Szegedy, Mario (2005), "Квантові алгоритми для трикутної задачі", Праці шістнадцятого щорічного симпозіуму ACM-SIAM з дискретних алгоритмів, Ванкувер, Британська Колумбія: Товариство промислової та прикладної математики, стор. 1109–1117, arXiv: Quant -ph / 0310134.

У цьому питанні було досягнуто значного прогресу в 2015 році.

По-перше, в arXiv: 1506.04719 [cs.CC] автори покращили квадратичне поділ, показавши загальну функцію з$f$

З іншого боку, в arXiv: 1512.04016 [Quant-ph] було показано, що квадратична залежність між квантовою та детермінованою складністю запитів має місце, коли область функції дуже мала.