Допоможе алгоритм факторингу Шор

У мене виникають невеликі проблеми з повним розумінням останніх кроків алгоритму факторизації Шор.

З огляду на $N$ ми хочемо поділити, виберемо випадковий $x$ який має порядок $r$ .

Перший крок включає налаштування регістрів та застосування оператора Адамара. Другий крок застосовується лінійним оператором. Третій крок другого регістра вимірюється (я вважаю, що цей крок може бути виконаний пізніше). Четвертий крок дискретного перетворення Фур'є застосовується до першого регістра. Потім вимірюємо перший регістр.

Ось де я трохи туманний:

Ми отримуємо вимір у вигляді $\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle$ .

Звідси можна знайти конвергенти дробу $\frac{j}{2^q}$ , конвергенти - це можливі значення порядку $r$ . Ось ми просто спробуємо всі конвергенти $< N$ і якщо ми не знайдемо $r$ як один із конвергентів, ми просто почнемо знову?

Також як різняться ймовірність можливих значень $j$ ? Здається, я бачу, що вони повинні мати однакову ймовірність, але робота Шоря говорить, що це не так?

Просто трохи розгублено, оскільки деякі папери, здається, говорять різні речі.

Спасибі.

quantum-computing

— Каллум
джерело

@Peter Shor може навіть допомогти вам у цьому.

— Дейв Кларк

Оскільки я задаю ці питання, я думаю, я краще розумію це. Для уточнення для тих, хто цікавиться, ми отримуємо вимірювання у вигляді

, де всещо потрібно це. Значенняможна записати у вигляді

∣ j, x^{k} \mod N ⟩

$\mid j , x^k \mod N \rangle$

j

$j$

j

$j$

j = 2^{q} k / r

$j= 2^q k/ r$ шляхом ділення на

отримуємо

і з цього ми можемо знайти його конвергенти, знаменник конвергента - можливе значення , якщо воно не алгоритм запускається знову. Ймовірність знаходження заснована на сумі, яка залежить від значення та того, який період .

2^{q}

$2^q$

k / r

$k/r$

< N

$< N$

r

$r$

j

$j$

2^{q}

$2^q$

r

$r$

— Callum

З цього ми можемо знайти конвергенти дробу , конвергенти - можливі значення порядку Ось ми просто спробуємо всі конвергенти і якщо ми не знайдемо як один із конвергентів, ми просто почнемо знову? $j/2^q$ $r.$ $<N$ $r$

Ти міг; алгоритм працює досить швидко, якщо це зробити. Якщо ви хочете зменшити очікувану кількість квантових кроків, ви також можете зробити деякі інші тести; наприклад, ви повинні перевірити, чи є малим кратним одного з конвергентів. Але якщо ви не знайдете після цих розширених тестів, вам потрібно почати заново. $r$ $r$

Також як різняться ймовірність можливих значень ? Здається, я бачу, що вони повинні мати однакову ймовірність, але робота Шоря говорить, що це не так? $j$

Я не знаю, чи можу я вам більше допомогти в цьому, тому що ви не дали мені достатньо інформації, щоб сказати, чому ви плутаєтесь. Ймовірність для кожного значення у фракції є (майже майже) однаковою. Однак залежно від того, де саме потрапляє між суміжними значеннями та , ймовірності конкретних значень різняться. $k$ $k/r$ $k/r$ $j/2^q$ $(j+1)/2^q$ $j$

— Петро Шор
джерело

Мені подобається, як ви ставитеся до цієї статті як "папір Шор" :)

— Suresh Venkat

Я просто трохи не впевнений у тому, як працює ймовірність. Я маю рацію, кажучи, що

. У наведених нами прикладах спостерігається симетрія щодо розподілу ймовірностей щодо середини точки

-x, це завжди так? Припустимо, що

, чи означає це, що для всіх можливих значень

Prob (j) = \frac{1}{2^{q} \times ([\frac{2^{q} - k - 1}{r}] + 1)} | \sum_{a = 0}^{[\frac{2^{q} - k - 1}{r}]} e^{- 2 π i r j a / 2^{q}} |^{2}

$\textrm{Prob} (j) = \frac{1}{2^q \times ([ \frac{2^q - k -1}{r}]+1)} \Bigg| \sum^{[ \frac{2^q - k -1}{r}]}_{a=0} e^{ -2 \pi i rja/2^q } \Bigg| ^2$

x

$x$

r = 2^{t}

$r= 2^t$

, де

, всі

матимуть рівну ймовірність

j = \frac{k_{0} 2^{q}}{r}

$j= \frac{ k_0 2^q}{r}$

k_{0} = 0, \dots, r - 1

$k_0 = 0, \cdots , r-1$

j

$j$

? Спасибі.

\frac{1}{2^{t}}

$\frac{1}{2^t}$

— Callum

Якщо

, то на самому ділі всі можливі значення

матимуть рівну ймовірність

r = 2^{t}

$r=2^t$

j

$j$

1 / 2^{t}

$1/2^t$

— Петро Шор