Аналіз кульок і Бенса в режимі m >> n.

Добре відомо, що якщо ви кидаєте n кульок у n контейнерів, велика ймовірність, що у найзавантаженому смітнику є кульки $O(\log n)$ . Взагалі можна запитати про $m > n$ кульок у $n$ бункерах. Доповідь RANDOM 1998 від Raab і Steger досліджує це детально, показуючи, що зі збільшенням $m$ ймовірність навіть трохи перевищити очікуване значення $m/n$ швидко зменшується. Приблизно, встановлюючи $r = m/n$ , вони показують, що ймовірність бачити більше $r + \sqrt{r\log n}$ є $o(1)$ .

Цей документ з'явився в 1998 році, і я нещодавно не знайшов. Чи є нові і навіть більш концентровані результати за цією ознакою, або є евристичні / формальні причини підозрювати, що це найкраще, що можна отримати? Варто додати, що у відповідному документі щодо варіанту з множинним вибором у співавторстві Анжеліки Штегер у 2006 році також не цитується жодна пізня робота.

Оновлення : У відповідь на коментар Петра, дозвольте мені уточнити те, що я хотів би знати. У мене тут дві мети.

По-перше, мені потрібно знати, які посилання цитувати, і, схоже, це остання робота над цим.
По-друге, вірно, що результат досить щільний у діапазоні r = 1. Мене цікавить діапазон m >> n, а саме область, де r може бути poly log n або навіть n ^ c. Я намагаюся зафіксувати цей результат у лемі, яку я доказую, і специфічне обмеження на r контролює інші частини загального алгоритму. Я думаю (але не впевнений), що діапазон на r, наданий цією книжкою, може бути достатнім, але я просто хотів переконатися, що немає більш жорсткої межі (це дасть кращий результат).

reference-request pr.probability

— Суреш Венкат
джерело

Я дізнався назву "проблема зайнятості" з тегу, тому дякую, що розмістив навчальне питання. :)

— Tsuyoshi Ito

Дивлячись на папери Рааба і Стегера, мені важко зрозуміти, яких подальших результатів ви хотіли б у цьому напрямку. Чи є конкретне запитання, на яке потрібно знати відповідь? Якщо це так, ви можете запитати його тут або на MathOverflow. Зокрема, якщо

r = m / n

$r=m/n$ , Raab і Steger дають тугу межу

де

- правильна константа.

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— Пітер Шор

@Peter Я відредагую питання: це дійсний пункт.

— Суреш Венкат

Насправді не повна відповідь (ні корисна довідка), а лише досить розширений коментар. Для будь-якого заданого біна ймовірність наявності в Bin точно кульок буде задана $B$ . Ми можемо використовувати нерівність через Sondow, $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ , щоб отримати $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ , де $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ . Зауважимо, що ця межа досить щільна, оскільки a $r=\frac{m}{B}-1$ . $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

Таким чином, маємо . Тепер, оскільки вас цікавить ймовірність знайти або більше кульок у відро, ми можемо розглянути $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ . Переставляючи доданки, отримуємо $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$ If we rewrite

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$ terms using exponentials, we get

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$ which then becomes

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

Now, I take it you care about finding some $B$ such that $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ for some constant $C$ , since this gives the total probability of any bin having $B$ or more balls as bounded from above by $C$ . This criteria is satisfied by taking

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$ which can be rewritten as

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.

— Joe Fitzsimons
джерело

this is pretty awesome. thanks for the outline.

— Suresh Venkat

@Suresh: Glad it's useful.

— Joe Fitzsimons