Чи існує структура даних для швидкого маніпулювання списком та замовлення запитів?

У нас є набір, , списків елементів із множини . Кожен елемент з з'являється в одному списку в . Я шукаю структуру даних, яка може виконувати такі оновлення:$L$$N = \{ 1, 2, 3, ..., n \}$$N$$L$

1. $concat(x, y)$ : об'єднує список, що містить на кінець списку, що містить$y$$x$

2. $split(x)$ : розбиває список, що містить безпосередньо після$x$$x$

Він також повинен виконувати такі запити:

1. $follows(x, y)$ : повертає якщо і знаходяться в одному списку, а поступає після (але не обов'язково примикає до )$true$$x$$y$$y$$x$$x$

2. $first(x)$ : повертає перший елемент списку, що містить$x$

3. $next(x)$ : повертає наступний елемент після у списку, що містить$x$$x$

Я вже придумав структуру даних, яка виконує ці оновлення за та запити в час. Мене найбільше цікавить, чи існує структура даних, яка може це зробити (чи сподіваємось швидше?).$O(lg^2 (n))$$O(lg (n))$

Мотивація: укорінені ліси можуть бути представлені двома з цих списків, і вони дозволяють швидко розрахувати доступність таких лісів. Я хочу побачити, для чого ще вони можуть бути використані і чи все це вже відомо.

Зберігайте цілі числа у пропущених списках. Нормальні списки пропуску впорядковані за ключем, але ми просто використовуватимемо їх як подання послідовностей. Додатково підтримуйте масив покажчиків розміром . Кожен елемент масиву повинен вказувати на вузол у списку пропусків. Я вважаю, що це підтримує в та всі інші операції в .$n$$next$$O(1)$$O(\lg n)$

Конкретно:

• $concat$ або двох пропускних списків займає час тому недійсне для більшості покажчиків.$split$$O(\lg n)$$O(\lg n)$
• $next$ просто слід вказівник вперед на рівні аркуша, приймаючи час .$O(1)$
• $first$ займає час : слідкуйте за покажчиками, поки ви не застрягнете, а потім слідуйте за лівою вказівкою. Якщо ви не можете слідувати більше лівих покажчиків, ви знаходитесь біля головного вказівника вашого списку пропусків. Виконайте вниз покажчики до аркуша, потім один вказівник вперед. Це перший елемент у списку.$O(\lg n)$
• $follows$ дещо складніше. Поступайте як у для , але запишіть список значень, де ви застрягли (тобто там, де ви більше не можете переглядати покажчики). Ми назвемо цей список, який ви записуєте, "слід". Зробіть те ж саме для , але слідуйте праворуч, коли ви застрягли, а не ліворуч. Якщо передує , їх сліди будуть перетинатися. Сліди мають розмір . Якщо кожен елемент у сліді зазначається із застряглим рівнем, ми можемо перевірити перетин у часі .$first$$y$$x$$x$$y$$O(\lg n)$$O(\lg n)$

$next$ - найгірший , всі інші - з великою часткою ймовірності . Їх можна зробити в гіршому випадку, використовуючи детерміновані пропускні списки.$O(1)$$O(\lg n)$

Я думаю, що можна зробити , використовуючи дерева (2,5), пов’язані з листям, і підсилюючи колючки. Для підказки завантаження дивіться " Чисто функціональні подання відсортованих списків, що підлягають каналу " Каплана та Тарджана.$concat$$O(\lg \lg n)$

Найменший загальний предок проблема може бути використаний для вирішення проблеми досяжності в динамічних кореневих дерев, так що я вважаю , ви будете також можуть зацікавити наступні: Оптимальні алгоритми пошуку найближчого загального Предків в динамічних дерев , по Alstrup і Thorup. Цей документ дає обмежений час$O(n + m \log \log n)$ для $n$ посилання та $m$ nca запитів на вказівній машині.