Квантове навчання PAC

Фон

$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] Н. Лініяль, Ю. Мансур та Н. Нісан. [1993] "Контури постійної глибини, перетворення Фур'є та навчальність", Journal of ACM 40 (3): 607-620.

[2] М. Харитонов. [1993] "Криптографічна жорсткість навчання, що залежить від розподілу", Праці ACM STOC'93, стор 372-381.

$AC^0$

Питання

Моє запитання тричі:

1) Чи є приклади сімейств природних функцій, які квантові комп'ютери можуть вчитися швидше, ніж класичні комп’ютери з криптографічними припущеннями?

$AC^0$$TC^0$

$TC^0$$TC^0$схеми відносяться? (крім того, що порогові ворота виглядають як сигмоподібні нейрони) (Це питання було задано і вже відповіли )

Я сфотографую ваше перше запитання:

Чи є приклади сімейств природних функцій, які квантові комп'ютери можуть вчитися швидше, ніж класичні комп’ютери, що мають криптографічні припущення?

Ну, це залежить від точної моделі та ресурсу, який мінімізується. Один з варіантів полягає в порівнянні складності вибірки (для незалежного від розподілу навчання PAC) стандартної класичної моделі з квантовою моделлю, яка надає квантові вибірки (тобто замість того, щоб задавати випадковий вхід та відповідне значення функції, алгоритм надається з квантовим суперпозицією над входами та значеннями їх функцій). У цій обстановці квантове навчання PAC та класичне навчання PAC в основному рівнозначні. Класична верхня межа складності вибірки та квантова нижня межа складності вибірки майже однакові, як показано в наступній послідовності робіт:

[1] Р. Серведіо та С. Гортлер, “Еквіваленти та розділення між квантовою та класичною навчальністю”, журнал SIAM on Computing, vol. 02138, стор. 1–26, 2004.

[2] А. Атічі та Р. Серведіо, “Покращені межі алгоритмів квантового навчання”, Квантова обробка інформації, с. 1–18, 2005.

[3] Ч. Чжан, «Вдосконалена нижня межа складності запитів для квантового навчання ПКС», Листи з обробки інформації, т. 111, ні. 1, с. 40–45, грудень 2010.

Переходячи до часової складності, використовуючи ту саму квантову модель PAC, Бшуті та Джексон показали, що DNF можуть бути квантовими PAC, засвоєними в поліномічний час за рівномірного розподілу [4], додатково вдосконаленими в роботі [5]. Найбільш відомий класичний алгоритм для цього працює$O(n^{\log n})$час. Atici і Servedio [6] також показують покращені результати для вивчення та тестування хунтів.

[4] Н. Бшуті та Дж. Джексон, “Навчання DNF на рівномірному розподілі з використанням квантового прикладу оракул”, SIAM Journal of Computing, vol. 28, ні. 3, с. 1136–1153, 1998.

[5] Дж. Джексон, К. Тамон, Т. Ямакамі, “Переглянуто вивчення квантової ДНФ”, “Обчислювальна техніка та комбінаторика, с. 595–604, 2002.

[6] А. Атічы та Р. Серведіо, “Квантові алгоритми для вивчення та тестування хунтів”, Квантова обробка інформації, т. 6, ні. 5, с. 323–348, вересень 2007.

З іншого боку, якщо вас цікавить лише стандартна класична модель PAC, використовуючи квантові обчислення як інструмент після обробки (тобто відсутність квантових зразків), то Серведіо та Гортлер [1] зауважили, що існує клас концепції для Kearns and Valiant, що класично не може бути вивчений PAC, припускаючи твердість факторингу цілих чисел Blum, але може бути квантово PAC вивчений за допомогою алгоритму Шора.

Дещо схожа ситуація з моделлю точного навчання Англуйна за допомогою запитів про членство. Квантові запити можуть дати поліноміальне прискорення лише з точки зору складності запиту. Однак існує експоненціальна швидкість у часовій складності, припускаючи існування односторонніх функцій [1].

Я не маю уявлення про друге питання. Я також радий почути більше про це.

Це, звичайно, не є повною відповіддю на ваше запитання, але, сподіваємось, це допоможе в першій частині. Здається, існує велика зацікавленість у використанні квантових алгоритмів для ідентифікації невідомих оракул. Одним із прикладів цього є нещодавній документ Floess, Andersson та Hillery ( arXiv: 1006.1423 ), який адаптує алгоритм Бернштейна-Вазірані для виявлення булевих функцій, які залежать лише від невеликого підмножини вхідних змінних (хунта). Вони використовують цей підхід для визначення функції oracle для поліномів низького ступеня (вони явно мають справу з лінійними, квадратичними та кубічними випадками).