Які моделі обчислення можна виразити через граматики?

Це переформулювання програми граматики? попередній запитував Ваг і з багатьма пропозиціями від коментаторів.

Яким чином граматика може розглядатися як зазначена модель обчислення? Якщо, наприклад, ми візьмемо просту без контексту граматику, таку як

G ::= '1' -> '0' '+' '1'
      '1' -> '1' '+' '0'
      '2' -> '2' '+' '0'
      '2' -> '1' '+' '1'
      '2' -> '0' '+' '2'
      '3' -> '3' '+' '0'
      '3' -> '2' '+' '1'
      '3' -> '1' '+' '2'
      '3' -> '1' '+' '2'

Якщо припустити, що аналізатор не розмежовує термінальні та нетермінальні символи, як я продемонстрував тут, то можна виконати просту арифметику для чисел до 3.

Наприклад, візьміть рядок

"2 + 0 + 1"

Запуск аналізатора LR (1) для цього рядка повинен дати нам таке конкретне дерево синтаксису, де результат обчислення зберігається в корені дерева:

           '3'
         /  |  \
        /   |   \
      '2'  '+'  '1'
     / | \
    /  |  \
  '2' '+' '0' 

Таким чином, якщо ми візьмемо граматику як програму, а генератор парсера - компілятор , чи можемо ми розглянути мову специфікації граматики як мову програмування ?

Крім того, чи могли б ми створити програми, повністю завершені Тьюрінгом, вказавши граматики, подібні до того, як ви могли б створювати цілісні програми за допомогою клітинних автоматів або обчислення лямбда ?

Іншими словами, відомо, що в сенсі розпізнавання мови звичайні мови відповідають автоматам з кінцевим станом , без контекстних мов відповідають автоматизовані автомати , а контекстно-чутливі мови відповідають лінійним обмеженим автоматам . Однак якщо ми розглянемо граматику як обчислювальні пристрої (тобто програми у значенні наведеного вище прикладу), то як можна класифікувати обчислювальну силу кожного класу граматик в ієрархії Хомського?

• Регулярні граматики
• Граматики без контексту
• Контекстно-чутливі граматики
• Неограничені граматики (для рекурсивно перелічених мов )

Крім того, як щодо менш відомих підкласів граматик, таких як

• Детерміновані без контексту граматики (також LR (k) / LL (k) / SLR / LALR тощо)
• Вкладені граматики слова
• Дерево, що прилягає до граматики
• Індексовані граматики

EDIT: До речі, це власне запитання в моєму власному запитанні, але я не згадував, що не давав жодного початкового символу для прикладу граматики і махав рукою при необхідності розрізняти термінали і нетермінали. Технічно чи традиційно, я думаю, граматику, мабуть, треба було б написати в більш складному вигляді, як цей (де S - вихідний символ, а $ - термінал кінця потоку):

G ::= S -> R0 '$'
      S -> R1 '$'
      S -> R2 '$'
      R0 -> '0'
      R0 -> R0 '+' '0'
      R1 -> '1'
      R1 -> R0 '+' '1'
      R1 -> '1' '+' R0
      R1 -> R0 '+' '1' '+' R0
      R2 -> '2'
      R2 -> R0 '+' '2'
      R2 -> '2' '+' R0
      R2 -> R0 '+' '2' '+' R0
      R2 -> R1 '+' '1'
      R2 -> R1 '+' '1' '+' R0

... не те, що насправді щось змінює, але я подумав, що слід це згадати.

EDIT: Ще щось, що мені прийшло в голову, коли я читав відповідь Gasche, - це те, що кожна гілка дерева в моєму прикладі являє собою підрахунок. Якщо розглядати кожне правило виробництва як функцію, де LHS представляє результат, а RHS представляє його аргументи, то структура граматики визначає, як складаються функції.

Іншими словами, контекст аналізатора разом з механізмом його пошуку допомагає визначити не тільки функції, які слід застосувати (подібні до параметричного поліморфізму), але і як вони повинні бути складені разом для формування нових функцій.

Принаймні, я здогадуюсь, ви могли б поглянути на це так однозначно CFG, що стосується інших граматик, то розумова гімнастика зараз для мене трохи занадто.

Між граматиками Чомського типу-0 та машинами Тюрінга існує відповідність один на один .

Це використовується в мові програмування Thue, яка дозволяє писати програми, завершені Тьюрінгом, визначені початковою строкою та набором правил перезапису рядків ( граматика напів-Thue , що еквівалентно граматиці типу-0).

ОНОВЛЕННЯ:

Окрім езотеричних мов "Turing tar-pit", таких як Чт, різні мови загального призначення, що дозволяють програмісту розширити власний синтаксис, можуть використовуватися для виконання повної обчислення Тьюрінга на етапі розбору-компіляції.

Мови в родині Лісп , зокрема звичайний Lisp , є, мабуть, найбільш очевидними прикладами, але, широко кажучи, мови зі статичним перевіркою типу, які не завжди потрібно зупиняти, наприклад, C ++ із шаблонами , Scala та Qi .

Моя відповідь не має наміру бути формальною, точною та абсолютно тематичною. Я думаю, що відповідь Марка Хаммана є досить твердою, але ваше запитання змусило мене подумати про пов'язану тему.

Граматики можна вважати особливими випадками дедуктивних систем: вхід є судженням, а дерево розбору - виведенням судження або доказом того, що судження є дійсним згідно (граматичних) правил.

У цьому сенсі ваше запитання може бути пов’язане з підходом якоїсь частини спільноти логічного програмування / підтвердження пошуку (я маю на увазі Дейла Міллера ), тобто в тому, що пошук доказів має обчислювальний зміст, на відміну від більш класичного Теорія типу / теорія доказів, де обчислення - це нормалізація доказів .

Зауваження: перечитуючи мою відповідь, я думаю, що думка про те, що «розбір дерев - це пошук доказів», є дещо надуманою тут. Пошук доказів швидше протікає в іншому напрямку: один починається з заданого, досить складного судження і, шляхом багаторазового використання правил висновків, що працюють над структурою доказу, можна сподіватися на отримання більш простих аксіом, які не потрібно доводити далі. Тож було б природніше бачити в граматичному плані складні судження як нетермінали, атоми як термінали, а пошук доказів як проблему генерації слів або тест на порожнечу.

Крім того, чи могли б ми побудувати програми, повністю завершені Тьюрінгом, задавши граматики…

Я не впевнений, чи правильно я зрозумів ваше запитання, але якщо ви шукаєте мову програмування, засновану на певній системі перезапису рядків, ви, ймовірно, будете втручатися в Refal , який базується на формалізмі алгоритму Маркова (Turing- завершений формалізм, який є також граматичною системою переписування рядків).

(Просто деякі дріб'язкові міркування. Може бути коментар, але занадто довгий.)

Насправді те, що ви описуєте, виглядає фактично як самий природний погляд на те, що таке мова (в розумінні людиною "мови", її призначення) та як граматика визначає мову.

Мова містить (нескінченно багато) правильних синтаксичних форм, які інтерпретуються, щоб дати смислові значення .

Якщо інтерпретація обчислюється, то синтаксичні форми мови можна розглядати як програми, що обчислюють смислові значення.

Якщо припустити, що мова реалізована як кінцевий пристрій, ми можемо назвати це кінцеве подання мови "граматикою". Відповідно до цього розуміння, граматика піклується про синтаксис, а також про семантику, тобто про те, як обчислити смислове значення цілого виразу зі значень його частин (атомні частини та їх значення зберігаються у "лексиконі") .

Деякі теорії природної мови мають таку форму (форма, яка узгоджується з вищезазначеними міркуваннями; про це вже згадувалося у відповіді @ gasche): дедуктивна система, яка шукає похідне введення (у поєднанні з обчисленням семантичного значення або побудова доказового терміна; пор. переписка Каррі-Хорварда). Отже, якщо ми подивимось на такі системи і розглянемо їх граматики, то ваше запитання тривіальне : ці системи точно розроблені для виконання обчислень у описаному вами способі.

$f$$G$$I$ $f(I)=S$$I$$S$$G$

(Насправді, справжні компілятори для мов програмування більше схожі на систему як із синтаксисом, так і з семантикою: вони перетворюють синтаксичну форму програми у виконувану, що є смисловим значенням програми, а не просто лише початковим символом граматики.)

Просто додати:

Чиста логічна програма має декларативне читання та процедурне читання. У цьому звіті обговорюється думка, що їх можна доповнити граматичним читанням, де пункти вважаються переписаними правилами граматики. Мета полягає в тому, щоб показати, що ця точка зору полегшує передачу досвіду від логічного програмування до інших досліджень мов програмування та навпаки. Деякі приклади такої передачі обговорюються. З іншого боку, представлений граматичний погляд виправдовує деякі спеціальні розширення до чистого логічного програмування та полегшує розробку теоретичних основ для таких розширень.

Граматичний погляд на логічне програмування П'єра Дерансарта та Яна Малушинського.

А як щодо чисел Peano:

S    -> int
int  -> zero
int  -> succ
zero -> "0"
succ -> "#" int

він розпізнає будь-який рядок (номер) цієї форми:

0   // zero
#0  // one
##0 // two

і вона повинна повернути вкладену структуру, глибина якої - число.

Але це починає ускладнюватися, коли потрібно реалізувати просто додаток:

S    -> int
int  -> sum
int  -> zero
int  -> succ
zero -> "0"
succ -> "#" int
sum  -> int "+" int

Це має абсолютно сенс у тому, що він буде розпізнавати лише добре сформовані вставки, як це:

#####0 + ####0

Але ця граматика вводить розкол у дереві розбору, коли є сума, тож замість того, щоб мати гарне однорозгалужене дерево, яке безпосередньо відображається на число, ми маємо структуру виразу, ще кілька обчислень від ефективного значення. Тож не проводиться обчислень, а лише розпізнавання. Проблема може бути не в граматиці, а в розборі. Можна замість цього використовувати щось інше, idk ... Ще один момент, який спадає на думку, - це адекватність граматичного формалізму для вираження обчислень. Якщо ви дивитеся на аксіому Пеано (у позначеннях Хаскелла):

1) Nat = Zero
2) Nat = Succ Nat
3) Sum ( Succ X ) ( Y ) = Succ ( X + Y )
4) Sum Zero X = X

Третє правило прямо говорить про перетворення. Невже хтось може уявити, що він має таку ж кількість значень у праві, що не стосується граматики. А якщо так, то як !?