Відредагуйте відстань між двома перегородками

У мене є два розділи $[1 \ldots n]$ і шукаю відстань редагування між ними.

Цим я хочу знайти мінімальну кількість одиничних переходів вузла в іншу групу, які необхідні для переходу від розділу А до розділу Б.

Наприклад, відстань від {0 1} {2 3} {4}до {0} {1} {2 3 4}буде два

Після пошуку я натрапив на цей документ, але а) я не впевнений, чи враховують вони впорядкованість груп (те, що мені не байдуже) на їх відстані b) я не впевнений, як це працює і c) Ніяких посилань немає.

Будь-яка допомога вдячна

ds.algorithms edit-distance lattice

— Зенна
джерело

Що б ви вважали відстань між {0 1 2 3} і {0 1} {2 3}? Було б 2? По-друге, я не бачу, чому "графіки" взагалі входять у малюнок. Здається, у вас є два розділи [n] і хочете обчислити відстань між ними.

— Суреш Венкат

Так, було б два. Дійсно, це встановлені розділи на вузлах графа (тобто розділ графіка). Це, ймовірно, не важливо для рішення, але це проблема, яку я намагаюся вирішити, отже, чому я це згадав.

— zenna

Якщо графік не має значення, видаліть зі свого запитання всі посилання на "графіки" та "вузли"; це не допомагає, воно відволікає.

— Jukka Suomela

Чи не можна визначити відстань редагування через відстань на решітці перегородки?

— Тегірі Ненаші

@Tegiri - Це справді геодезична відстань на решітці партій. На жаль, обчислити, що решітка для будь-якого набору кардинальності набагато більша за 10 є непереборною.

— zenna

Відповіді:

Ця проблема може бути перетворена в задачу присвоєння , відому також як максимально зважена двостороння відповідність.

Спершу зауважте, що відстань редагування дорівнює кількості елементів, які потрібно змінити з одного набору в інший. Це дорівнює загальній кількості елементів мінус кількості елементів, які не потрібно змінювати. Отже, знаходження мінімальної кількості елементів, які не змінюються, еквівалентно пошуку максимальної кількості вершин, які не змінюються.

Нехай і розбиття числа . Крім того, не втрачаючи загальності, нехай (дозволено, оскільки $A = \{ A_1, A_2, ..., A_k \}$ $B = \{ B_1, B_2, ..., B_l \}$ $[1, 2, ..., n]$ $k \ge l$ ). Тоді нехай , , ..., всі порожні множини. Тоді максимальна кількість вершин, які не змінюються, становить: $edit(A, B) = edit(B, A)$ $B_{l+1}$ $B_{l+2}$ $B_k$

$\max_f \sum_{i=1}^k |A_i \cap B_{f(i)} |$

де є перестановкою . $f$ $[1, 2, ..., k]$

Це якраз проблема задачі, де вершини , ..., , , ..., а ребра - пари з вагою . Це можна вирішити за час . $A_1$ $A_k$ $B_1$ $B_k$ $(A_i, B_j)$ $|A_i \cap B_j|$ $O(|V|^2 \log |V| + |V||E|)$

— bbejot
джерело

Чи можете ви назвати алгоритм, який надає цей час складність?

— D-503

Я вважаю, що @bbejot має на увазі послідовний алгоритм найкоротшого шляху (з підпрограмою Dijkstra, що реалізується за допомогою куб напруги).

— Вей

Мені знадобилося довго розбирати це, бо я не людина з математики, але дякую тобі. Я багато часу шукав, і це було єдине, що я міг знайти, який показав, як перетворити проблему відстані розділу в проблему присвоєння - або в будь-який алгоритм, який я можу викликати з якоїсь бібліотеки Python. (Важкою частиною для мене було з'ясування того, як використовувати scipy.optimize.linear_sum_assignment, а потім встановити матриці на основі цих інструкцій.)

— Sigfried

Мені потрібно було зробити ваги негативними. Інакше scipy.optimize.linear_sum_assignment дає мені 0 за все.

— Зігфрід

Подивіться цей PDF-документ

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.0030160

Визначення відстані редагування там є саме те, що вам потрібно, я думаю. "Довідковий" розділ був би (довільним) одним із двох ваших розділів, а другий - просто другим. Також містить відповідні цитати.

Найкраще, Роб

— Роб
джерело

Дякую Роб. Однак, якщо я щось не пропускаю, це відстань редагування, визначена в ході розділеного злиття. Вони добре вивчені, і як зазначається у статті, зміна інформації є інформаційно-теоретичною мірою цього. Мене, однак, цікавить перехід в одному елементі.

— zenna

Примхлива думка в неділю вранці, яка може бути або не бути правильною:

$P_1$ $P_2$ $n_1(S) \in \Sigma$ $P_1$ $n_2(S)$ $P_2$

$n_2(S) := n_1(S')$ $S \in P_2$ $S \cap S'$ $S' \in P_1$
$n_2(S) = n_2(S')$ $S \neq S'$ $S'', n_1(S'') = n_2(S)$ $P_1$
$S'' \in P_1$ $S, S'$
$P_1$ $P_2$

$w_1 = n_1(1) \cdot \dots \cdot n_1(n)$ $w_2 = n_2(1) \cdot \dots \cdot n_2(n)$ $n_j(i) = n_j(S), i \in S \in P_j$ $d_H(w_1, w_2)$

— Рафаель
джерело