Перерахування всіх пар неперерізних шляхів

З огляду на , орієнтований граф і дві вершини їв , т ∈ V . Пара простих контурів p 1 , p 2 від s до t є неперервними ребрами, якщо вони не ділять ребро.$G = (V,E)$$s,t \in V$$p_1,p_2$$s$$t$

Використовуючи максимальний потік, легко вирішити, чи є пара крайових роз'єднаних шляхів від до t . Тепер, чи існує алгоритм затримки поліноміального часу, щоб перерахувати всі пари реберного роз'єднаного шляху від s до t ?$s$$t$$s$$t$

Я вважаю, що відповідь Артема Казнатчеєва правильна, але це не дає поліноміального простору. Тож ось інший підхід, який повинен працювати трохи краще в цьому відношенні.

Використовуючи максимальний потік, можна вирішити дещо більш загальну задачу: знайти пару крайових неперехідних контурів від деяких двох вершин {s1, s2} до деяких інших вершин {t1, t2}, але не контролюючи, до якої вершини джерела підключено до якої вершини призначення.

Припустимо, у нас є графік G і вершини s1, s2, t1, t2, для яких ми хочемо перерахувати всі пари шляхів. Знайдіть одну пару шляхів P1, P2, і нехай e = (s1, v) є першим краєм на одному з цих шляхів. Тоді ми можемо розділити проблемний простір на дві підпроблеми: пари шляхів, які використовують e, такі самі, як і шляхи від {v, s2} до {t1, t2} у G-s1, і пари шляхів, які не використовують e такі ж, як і шляхи від {s1, s2} до {t1, t2} в Ge. Повторіть обидві ці подпрограми, і (щоб уникнути дублювання) повідомте про шлях лише тоді, коли ви знаходитесь внизу рекурсії.

Це перший раз, коли я читав про алгоритми затримки поліномів, тому я не на 100% впевнений у своїй відповіді, але думаю, що щось подібне має спрацювати.

Виберіть деяку умову для представлення шляхів, що мають природне загальне впорядкування визначене на ньому. (Одним із прикладів може бути лише перелік вершин шляху та впорядкування лексикографічно). Виберіть улюблену структуру даних D на місці D, яка підтримує логарифмічний пошук та вставлення (скажімо, червоно-чорне дерево). Нехай G - ваш графік$<$$D$$G$

Визначте алгоритм :$F$

:$F(s,t,G, ^*D)$

(тут ∗ D означає посилання на внутрішню структуру даних D )$^*D$$D$

1. запустіть свій алгоритм багаторазового часу для повернення пари контурів, що не перетинаються на край з P < Q від s до $(P,Q)$$P < Q$$s$$t$ .

2. Якщо немає у $(P,Q)$$D$ .

   2.1. Вставте у $(P,Q)$$D$ (і виведіть, якщо ви вважаєте, що виводить, як алгоритм працює).

   2.2. Для кожного краю запустіть F ( s , t , G - { u v } , ∗ D $uv \in E(P\cup Q)$$F(s,t,G - \{uv\}, ^*D)$

$D$$s,t \in V(G)$$s < t$$s \neq t$$F(s,t,G,*D)$

$PSPACE$$PSPACE$

$O(m)$