Нехай G - дерево на вершинах 2n. Ширина ширини G, tw (G) = 1. Тепер припустимо, що ми додамо n ребер до G, щоб отримати графік H. Легка верхня межа на tw (H) дорівнює n + 1. Це, по суті, найкраще?
Якимось чином здається, що tw (H) має бути O (sqrt (n)), але це лише невиразний підказ. Чи знаємо ми кращі верхні межі, ніж O (n) для ширини графіка, отриманого шляхом додавання n країв до дерева на 2n вершинах?
Відповіді:
Ваша модель насправді не менш загальна, ніж запитання про довільні 3-регулярні графіки, а 3-регулярні графіки розширення мають лінійну широту ширини. Тому я не знаю про постійні фактори, але Θ (n) найкраще можливий, так.
Як зауважив Девід, ви в основному просите межі на ширині підключеного графіка із середнім ступенем 3. Для більш особливого випадку 3-регулярних графіків можна отримати наступні нижню та верхню межі. Позначаючи pw (G) ширину шляху графа G, зрозуміло, що
(1) tw (G) <= pw (G) для будь-якого графіка G (як декомпозиція шляху - це розкладання дерева)
В [1] доведено, що
(2) Для кожного \ epsilon> 0 існує ціле число n_0 таке, що для будь-якого 3-регулярного графіка G на n> = n_0 вершин, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Це дає вам верхню межу приблизно n / 6 на ширині 3-х регулярних графіків.
Для майже впевненої нижньої межі я цитую [2]:
"Оскільки випадкові кубічні графіки майже напевно мають ширину поділу принаймні 0,101 n (Косточка, Мельников, 1992), вони майже напевно не мають роздільника розміром менше n / 20", і, таким чином, майже напевно немає розкладання дерев шириною менше n / 20 .
Для "впевненої" нижньої межі ширини бісекції [3] показано нескінченне сімейство з 3-х регулярних графів, таким чином, що кожен графік G = (V, E) у цій сім'ї має ширину розбиття принаймні 0,082 * | V |.
[1] Федір В. Фомін, Kjartan Høie: Ширина пробігу кубічних графіків та точних алгоритмів. Інф. Процес. Лет. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Ярослав Несетріл, Патріс Оссона де Мендес: Град та класи з обмеженим розширенням II. Алгоритмічні аспекти. Євро. Дж. Гребінь. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Сергій Л. Безруков, Роберт Ельсессер, Буркхард Моньєн, Роберт Прейс, Жан-П'єр Тілліх: Нові спектральні нижні межі на ширині бісекції графіків. Теорія. Обчислення. Наук. 320 (2-3): 155-174 (2004)