Найкоротші шляхи, що забороняють кожен край

Я вдячний за будь-які вказівки або терміни, які могли б почати мене в правильному напрямку.

У нас є спрямований графік $G=(V,E)$ і довжини $l_{ij}$ для кожного краю $ij$що можна вважати позитивним. Існує спеціальний пусковий вузол$s$ і кінцевий вузол $t$.

Для кожного краю $ij$, ми хотіли б обчислити довжину найкоротшого шляху від $s$ до $t$ що не використовує край $ij$.

Простий алгоритм грубої сили - це запускати алгоритм найкоротшого шляху для кожного краю, кожного разу видаляючи різний край з початкового графіка. Чи є більш ефективний алгоритм, який використовує той факт, що в цьому алгоритмі грубої сили відбувається багато повторних обчислень?

Заздалегідь спасибі.

Проблема, яку ви згадуєте, називається "шляхи заміни". Ось декілька посилань:

1. Готтільф та Левенштайн, вдосконалені алгоритми k простих найкоротших шляхів та задачі шляхів заміни. Інф. Зб. Letters, 109 (7): 352–355, 2009. Цей документ дає найшвидший на сьогоднішній день точний алгоритм для задачі шляхів заміни, що працює в часі$O(mn+n^2\log\log n)$ час у графіках с $n$ вузлів і $m$ краї.
2. А. Бернштейн. Майже оптимальний алгоритм наближення шляхів заміни та k найкоротших простих шляхів у загальних графіках. У Зб. SODA, стор. 742–755, 2010. Цей документ напрочуд дає схему наближення квазілінійного часу до проблеми.
3. Дж. Гершбергер, С. Сурі та А. Бхосле. Про складність деяких найкоротших проблем. У Зб. STACS, сторінки 343–354, 2003. У цьому документі показано, що будь -який алгоритм порівняння шляхів, що вирішує задачу шляхів заміни, повинен мати щонайменше$\Omega(m\sqrt{n})$ час.
4. В.Вассилевська В., Р. Вільямс. Субкубічні рівноваги між проблемами шляху, матриці та трикутника. У Зб. FOCS, стор. 645-654, 2010. Ми показуємо, що якщо ви отримаєте$O(n^{3-\varepsilon})$ точний алгоритм часу для заміщення шляхів для будь-якої константи $\varepsilon>0$, то це може бути перетворено в $O(n^{3-\varepsilon'})$ алгоритм часу для всіх пар найкоротший шлях для постійних $\varepsilon'>0$. Такий справді субкубічний алгоритм для всіх пар найкоротших шляхів є давно відкритою проблемою.
5. О. Вейман, Р. Юстер. Шляхи заміщення за допомогою швидкого множення матриці. У Зб. FOCS, стор. 655-662, 2010. та В. Василевська В. Швидші шляхи заміни. У Зб. SODA, сторінки 1337-1346, 2011. У цих роботах показано, як використовувати швидке множення матриць для пошуку шляхів заміни у графіках із цілими вагами ребер в інтервалі$\{-M,\ldots, M\}$. Останній документ дає найвідоміший час виконання,$\tilde{O}(Mn^\omega)$.

Якщо ви хочете приєднати до кожного краю довжину найкоротшого шляху між ними $s$ і $t$ви можете почати з обчислення найкоротшого шляху у всьому графіку та приєднати до кожного краю не найкоротшим шляхом, який ви просто обчислили довжину поточного найкоротшого шляху. Після цього у вас є щонайбільше$n-1$ краї, ліві на які ви не знаєте відповіді.