Проблема з розташуванням евклідового об'єкта

У капасітірованних Facility Місцезнаходження завдання (CFLP) , нам дано безліч клієнтів і набір потенційних об'єктів . Кожен клієнт має запит який повинен обслуговуватися одним або декількома відкритими об'єктами. Кожен об'єкт має вартість відкриття і має потужність , що є максимальним попитом, який можу обслуговувати. Вартість виступає одна вимога одиниці клієнтської в об'єкті це$C$$F$$j \in C$$d_j$$i \in F$$f_i$$u_i$$i$$j$$i$$c_{ij}$. Ми хочемо відкрити підмножину об'єктів і призначити попит клієнтів на відкриття об'єктів таким чином, щоб вимоги всіх клієнтів були задоволені, не було порушено обмеження потужностей і мінімізована загальна вартість відкриття об'єктів та обслуговування клієнтів. Витрати на обслуговування є негативними, симетричними та задовольняють нерівність трикутника.

Арора в [ 1 , стор. 21] зазначає, що "Арора, Рагаван і Рао [ 2 ] дають PTAS для геометричного випадку. Вони поширюють алгоритм на ємнісний випадок, але остаточне рішення може порушити обмеження потужності на невелику кількість". Що він розуміє під «невеликою сумою»? Я думаю, це означає, що вони дають PTAS, який порушує обмеження ємності в межах фактора для довільного . Чи це правильно?$(1+\epsilon)$$\epsilon > 0$

Коли я заглянув у [ 2 ], єдиний споріднений результат, який я знайшов, був алгоритмом часу для пошуку -приблизного рішення для капасітірованние -медіана коли ми маємо єдині можливості. Чи посилається Арора на вищезазначене [ 1 ]?$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$$(1+\epsilon)$$k$

[ 1 ] С. Арора. Схеми апроксимації для задач геометричної оптимізації з жорстким NP: опитування. В математиці. Програмування, сер. Б, вип. 97, с. 43–69, 2003.

[ 2 ] С. Арора, П. Рагаван та С. Рао. Схеми наближення евклідової k-медіани та пов'язані з ними проблеми. У Зб. 30-й симпозіум ACM з теорії обчислень, стор. 106–113, 1998.

Якщо я правильно вмикаю, ви повинні приблизно визначити кількість клієнтів, підключених до кожного ворота. В іншому випадку ви одразу отримаєте щось на зразок , де - кількість затворів у підпрограмі. Наблизивши це число до фактора протягом усього динамічного програмування, в кінці кінців можна отримати помилку . Це призвело б до часу експлуатації, аналогічного тому, що ви заявили вище.$O(n^{O(g)})$$g$$(1+\varepsilon/\log n)$$(1+\varepsilon)$