Доведення накачування леми для без контекстних мов за допомогою автоматичних натискань

Насосна лемму для регулярних мов можна довести, розглядаючи кінцевий автомат, що розпізнає мову вивчав, вибираючи рядок з довжиною більше , ніж його число станів, і застосуванням принципу Діріхле. Але накачана лема для контекстних мов (як і лемма Огдена, яка є дещо більш загальною), проте доводиться, розглядаючи безконтекстну граматику вивченої мови, підбираючи достатньо довгий рядок і дивлячись на дерево розбору.

Враховуючи схожість двох перекачуваних лем, ви б очікували, що без контексту можна також довести аналогічний до звичайного, розглядаючи автомат, що розпізнає мову, а не граматику. Однак мені не вдалося знайти жодного посилання на такий доказ.

Звідси моє запитання: чи є докази перекачування лемми для безконтекстних мов, яка передбачає лише автоматичні автоматичні вимикання, а не граматики?

Я знову задумався над цією проблемою, і, думаю, маю повне підтвердження. Це трохи складніше, ніж те, що я передбачав. Коментарі дуже вітаються! Оновлення: я подав цей доказ на arXiv, якщо це комусь корисно: http://arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

Нехай - контекстна мова над алфавітом . Нехай - автоматичний вимикач, який розпізнає із алфавітом стека . Позначимо черезчисло станів . Не втрачаючи загальності, ми можемо припустити, що переходи точки є найвищим символом стека і не натискають жодного символу на стеку, або натискають на стек попередній верхній символ і якийсь інший символ.Σ A L Γ | А | A $L$$\Sigma$$A$$L$$\Gamma$$|A|$$A$$A$

Визначимоі довжина накачування, і покаже, що всі такі, що мають розклад виду такий, що , і .р = | А | ( | Γ | + 1 ) p ′ w ∈ L | w | > p w = u v x y z | v x y | ≤ p | $p' = |A|^2 |\Gamma|$$p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$$w \in L$$|w| > p$$w = u v x y z$$|vxy| \leq p$∀ n ≥ 0 , u v n$|vy| \geq 1$$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

Нехай такий, що . Нехай - приймаючий шлях мінімальної довжини для (представлений у вигляді послідовності переходів ), позначимо його довжину через. Ми можемо визначити для, розмір стека в положенні приймаючого шляху. Для всіх ми визначаємо -рівень над як набір з трьох індексів з таким чином, що:| w | > p π w A | π | 0 ≤ i < | π | s i i N > $w \in L$$|w| > p$$\pi$$w$$A$$|\pi|$$0 \leq i < |\pi|$$s_i$$i$$N > 0$$N$i , j , k 0 ≤ i < j < k ≤ $\pi$$i, j, k$$0 \leq i < j < k \leq p$

1. $s_i = s_k, s_j = s_i + N$
2. для всіх таких, що ,i ≤ n ≤ j s i ≤ s n ≤ s $n$$i \leq n \leq j$$s_i \leq s_n \leq s_j$
3. для всіх таких, що , .j ≤ n ≤ k s k ≤ s n ≤ s $n$$j \leq n \leq k$$s_k \leq s_n \leq s_k$

(Для прикладу цього див. Малюнок для випадку 2 нижче, який ілюструє .)$N$

Визначимо рівень про в якості максимального таке , що має -Рівень. Це визначення мотивоване наступним властивістю: якщо розмір стека через шлях стане більшим, ніж його рівень , символи стека більше рівнів глибини ніколи не будуть вискакуватися. Тепер ми виділимо два випадки: або , і в цьому випадку ми знаємо, що однакова конфігурація для стану автомата та найвищих символів стека зустрічається двічі на перших кроках , абоπ N π N π l l l < p ′ l p + 1 π l ≥ p ′ v $l$$\pi$$N$$\pi$$N$$\pi$$l$$l$$l < p'$$l$$p+1$$\pi$$l \geq p'$, і повинно бути положення для складання і відклеювання, яке можна повторити довільно кількість разів, з якого ми побудуємо і .$v$$y$

Випадок 1. . Ми визначаємо конфігурації як пари стану і послідовність символів стеки (де стеки розміром менше з представлені шляхом додавання їх до спеціальним порожнім символом, саме тому ми використовуємо при визначенні ). За визначенням існують таких конфігурацій, що менше . Отже, у перших кроків однакова конфігурація зустрічається двічі у двох різних положеннях, скажімо, . Позначимо по A A l l l | Γ | + 1 р | А | ( | Г | + 1 ) л р р + 1 π я < J я J ш я J π я ≤ 0 ⋯ $l < p'$$A$$A$$l$$l$$l$$|\Gamma| + 1$$p$$|A| (|\Gamma| + 1)^l$$p$$p+1$$\pi$$i < j$$\widehat{i}$ (респ. ) положення останньої літери прочитаної на кроці (відповідно ) від . У нас є . Таким чином, ми можемо з , , , . (За допомогою позначаємо літери від включно до виключно.) За побудовою, .$\widehat{j}$$w$$i$$j$$\pi$ ш=UV$\widehat{i} \leq \widehat{j}$у г = ε у = $w = u v x y z$$y z = \epsilon$$u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$ | v x y | ≤ p х= ш J ⋯ | w | w x ⋯ y wx$v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$$x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$$w_{x \cdots y}$$w$$x$$y$$|vxy| \leq p$

Ми також повинні показати, що , але це випливає з нашого спостереження вище: символи стека глибше ніколи не з'являються, тому немає можливості розрізнити конфігурації, рівні за нашим визначенням, і приймаючий шлях для будується з конфігурації , повторюючи кроки між та , разів.l u v n x $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$$l$$u v^n x$$w$j $i$$j$$n$

Нарешті, у нас також є , тому що якщо , то тому що ми маємо однакову конфігурацію на кроках та в , буде прийнятним шляхом для , що суперечить мінімальності .v = ϵ i j π π ′ = π 0 ⋯ i π j ⋯ $|v| > 0$$v = \epsilon$$i$$j$$\pi$w$\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$$w$$\pi$

(Зверніть увагу, що цей випадок означає застосування накачувальної леми для звичайних мов шляхом жорсткого кодування найпомітніших символів стеку в автоматичному стані, що є адекватним, оскільки є досить малим, щоб переконатися, що більше, ніж кількість станів цього автомата . Основна хитрість полягає в тому, що ми повинні налаштувати -переходи.)$l$$l$$|w|$$\epsilon$

Випадок 2. . Нехай - -рівень. До будь-якого розміру стеку , ми пов'язуємо останній push і перший pop . За визначенням та . Ось ілюстрація цієї конструкції. Щоб спростити малюнок, я опускаю різницю між позиціями шляху та позиціями слів, які нам доведеться зробити пізніше. i , j , k p ′ h s i ≤ h ≤ s j lp ( h ) = max ( { y ≤ j | s y = h } ) fp ( h $l \geq p'$$i, j, k$$p'$$h$$s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ i ≤ lp ( $\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$j ≤ fp ( h ) ≤ $i \leq \lp(h) \leq j$$j \leq \fp(h) \leq k$

Ми говоримо, що повний стан розміром стека є потрійним, утвореним:$h$

1. стан автомата в положенні$\lp(h)$
2. символ верхнього стека в положенні$\lp(h)$
3. стан автомата в положенні$\fp(h)$

Є можливі повні стану, і розмір стека між і , тому, по pidgeonhole принципі, існують два стека розміри з таким чином, щоб в повній мірі станів при і однакові. Як і у випадку 1, ми визначаємо через , , та позиції останніх літер прочитаних у відповідних позиціях у . Ми деp ′ + 1 s i s j g , h s i ≤ g < h ≤ s j g h ^ lp ( g ) ^ lp ( h ) ^ fp ( h ) ^ fp ( g ) w π w = u v x y z u = w 0 g ) v $p'$$p' + 1$$s_i$$s_j$$g, h$$s_i \leq g < h \leq s_j$$g$$h$$\lpp(g)$$\lpp(h)$$\fpp(h)$$\fpp(g)$$w$$\pi$$w = u v x y z$$u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$, , , , і . x= w ^ lp ( h ) ⋯ ^ fp ( h ) y= w ^ fp ( h ) ⋯ ^ fp ( g ) z=$v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$$x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$$y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$$z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

Ця факторизація забезпечує, що (тому що за нашим визначенням рівнів).k ≤ $|vxy| \leq p$$k \leq p$

Ми також повинні показати , що . Для цього зауважте, що кожного разу, коли ми повторюємо , ми починаємо з одного і того ж стану і тієї ж вершини стека, і ми не вискакуємо нижче свого поточного положення в стеку (інакше нам доведеться знову натискати на поточну позицію, порушуючи максимальність ), тому ми можемо слідувати тим самим шляхом в і натиснути ту саму послідовність символів на стек. За максимальністю та мінімальністю , читаючи , ми не попадаємо нижче нашого поточного положення в стеку, тому шлях, який слід в автоматі, однаковий незалежно від кількості раз ми повторювалиv lp ( g ) A lp ( h ) fp ( h ) x v w v v v fp ( g $\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$$v$$\lp(g)$$A$$\lp(h)$$\fp(h)$$x$$v$. Тепер, якщо ми повторюємо стільки разів, скільки ми повторюємо , оскільки ми починаємо з того самого стану, оскільки ми натиснули ту саму послідовність символів на стеку з нашими повторами , і оскільки ми не виводимо більше того, що має складений мінімальністю , ми можемо слідувати тим самим шляхом в і виводити ту саму послідовність символів зі стека. Отже, приймаючий шлях від може бути побудований з приймаючого шляху для .$w$$v$$v$$v$$\fp(g)$u v n x y n z $A$$u v^n x y^n z$$w$

Нарешті, у нас також є , тому що, як і у випадку 1, якщо і , ми можемо побудувати коротший приймаючий шлях для , видаливши і .v = ϵ y = ϵ w π lp ( g ) ⋯ lp ( h ) π fp ( h ) ⋯ fp ( g $|vy| > 1$$v = \epsilon$$y = \epsilon$$w$$\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$$\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

Отже, ми маємо адекватну факторизацію в обох випадках, і результат доведений.

(Заслуга Марка Жанмугіна за те, що він допомагає мені в цьому.

Так, це можливо. Ми могли б використовувати поняття поверхневих конфігурацій; їх Кук представив давно назад. З цим було б досить легко вийти з версії викачування лем.

Що стосується конфігурацій поверхні, то майже будь-який папір на LogCFL повинен нести своє визначення. Ось нещодавній документ і ось теза

Можливо, хтось більш енергійний зможе викласти деталі!

Для повноти посилання на доказ у цьому напрямку.

A.Ehrenfeucht, HJHoogeboom, G.Rozenberg: Координовані парні системи. I: слова Дайк і класичне накачування RAIRO, Inf. Теор. Додаток 20, 405-424 (1986)

Анотація Поняття системи скоординованої пари [...] дуже відповідає (є іншим формулюванням) поняттю автоматичного поштовху. У цій роботі ми [...] досліджуємо можливість отримання насосних властивостей без контекстних мов за допомогою аналізу обчислень у системах cp. Для цього ми аналізуємо комбінаторну структуру слів Діка. Властивості слів Дійка, які ми досліджуємо, випливають із комбінаторного аналізу обчислень у системах cp. Ми демонструємо, як ця відповідність може бути використана для доведення класичної насосної леми.

Обговорюючи цю проблему з Жеро Сенегергом, він вказав мені на цей документ Сакаровича, що вже підтверджує цей результат. Здається, доказ датується цим документом Огдена.

Список літератури:

• Сакарович, Жак. Sur une propriété d'itération des langages algébriques déterministes. (Франц. Англ. Резюме). Математика. Теорія систем 14 (1981), вип. 3, 247–288.
• Вільям Ф. Огден. 1969. Теореми інтеркаляції для стекових мов. У працях першого щорічного симпозіуму ACM з теорії обчислень (STOC '69).