Чи не визначені атрибути Р створюють перешкод для прийняття рішення Р проти НП? (відповідь: можливо)

Задано п’ять пов'язаних питань, і на одну єдину інтегровану відповідь сподіваються:

• Q1: Чи існують мови , які розпізнаються виключно тими машинами Тьюрінга в  , показники виконання яких не можна визначити ?$L$$P$
• Q2: Чи можуть бути зразки цих машин Тьюрінга кінцево побудовані?
• Q3: Чи можна ці машини Тьюрінга конкретно створити? ( наприклад , оракулами, які "здогадуються" їх, а не остаточно будують їх).
• Q4: Які ще атрибути P (окрім показників часу виконання) на сьогоднішній день, як відомо, не можна визначити? Для яких ознак відкрито це запитання?$P$
• Q5: Чи не визначені атрибути створюють перешкод для розбірливості ?P ≠ N P$P$$P \ne NP$

Уважно зверніть увагу на слово "виключно" у 1 кварталі (що виключає запропоновану відповідь Ленса Фортнова).

Висновки та перетворення на Wiki Wiki

• Питання: "Чи ставлять незаперечні атрибути Р перешкоду для прийняття рішення проти П проти НП?", Відкритим і вважається, що він є важким, як і численні конкретні питання (наприклад, Q1–4 вище), які природно пов'язані з ним.

• Монографія Юріса Хартманіса 1978 р. Можливі обчислення та властивості доказувальної складності дає хороший вміст у літературі, і, мабуть, не було опубліковано жодного огляду після Хартманіса.

• Цей клас питань є достатньо незрозумілим, що завдання пошуку суворих доказів тісно поєднується з проблемою вибору хороших вихідних визначень.

• Вдумливі зауваження та проникливі ескізи, підтверджені Службою Тревіса та Алекса десять Брінка, визнані та оцінені.

Оскільки питання відкрите і тому, що його обговорюють у декількох математичних потоках веб-журналів ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ), це питання було позначено для переходу до Wiki Community.

Оновлення II та резюме

Мені стало відомо, що монографія Юріса Харманіса 1978 р. Можливі обчислення та властивості доказівної складності можна розглядати як глибоку відповідь на Q1–5 . Більше того, (відмінні) ескізи, що підтверджують Q1 та Q4, надані нижче службою Travis Service та Alex ten Brink, надають сучасне підтвердження та розширення загальних висновків Хартманіса, що:

Результати щодо складності обчислень змінюються досить докорінно, якщо врахувати лише властивості обчислень, які можна довести формально (наголос Хартманіса) ...

Таким чином, слід очікувати, що результати щодо оптимальності всіх програм, що виконують ту саму функцію, що й дана програма, будуть відрізнятися від результатів оптимальності щодо всіх програм, які формально можуть бути підтверджені еквівалентними даній програмі. ...

Ми [повинні] розглянути можливість того, що ця відома проблема [ ] не може бути вирішена у формалізованій математичній теорії, наприклад теорії множин.$P\overset{?}{=}NP$

Як з монографії Хартманіса, так і з відповідей Травіса та Алекса видно , що Q1–5 значно виходить за межі сучасних теорій складності. Більше того, ці питання / відповіді, очевидно, є досить тонкими, щоб вимагати ретельного корегування та виправдання експозицій по довжині монографії ... що, сподіваюся, не відштовхне людей від публікації подальших відповідей. :)

Для подальшої технічної дискусії дивіться відповідь Джоела Девіда Хамкінса на MathOverflow на питання: Чи може проблема бути одночасно багаточленною та невирішеною? (рекомендує Алекс десять Брінк).

Якщо в монографії Хартманіса одна заміна «обчислення функцій» словосполучення «моделювання динаміки», результат можна прочитати як трактат про теоретично-теоретичні межі складності інженерії систем ... це практична причина, чому ми інженери дбаємо про це питань.

Протилежну думку до Хартманіса нещодавно озвучив Одід Голдрайх у листі до редактора CACM під назвою "Про обчислювальну складність" :

На жаль, нам наразі не вистачає хороших теоретичних відповідей на більшість природних питань щодо ефективного обчислення. Це так не тому, що ми задаємо неправильні запитання, а тому, що ці питання дуже важкі.

Звичайно, цілком можливо, що думки Хартманіса та Голдрейха виявляться правильними, наприклад, формальне підтвердження невідповідності відокремленості PvsNP можна було б вважати валідним обох точок зору.

Оновити I

Продумані коментарі (нижче) від Travis Service та Алекса десять Брінка припускають (насправді), що в I кварталі словосполучення «Не можна визначити» не є синонімом «не підлягає перевірці» і що відповіді на Q2–5 можуть залежати від цього розрізнення. Зовсім не зрозуміло (мені), який визначений вибір призведе до найсильніших теорем, а також найкращим чином відобразить нашу інтуїцію класу П. Відповіді та коментарі, що стосуються цього питання, вітаються.

Зауваження Фелікса Кляйна в його « Елементарній математиці з передової точки зору: Геометрія» (1939) приходить до уваги:

Іншим прикладом концепції, яка з більшою чи меншою точністю відбувається в наївному сприйнятті простору, яку ми повинні додати як доповнення до нашої системи геометрії, є поняття (довільної) кривої . Кожна людина вірить, що він знає, що таке крива, поки не засвоїв стільки математики, що незліченна кількість можливих відхилень їх плутає.

Як і з кривими, так і з мовами, прийнятими машинами Тьюрінга в  ... те, що колись здавалося мені (як мені) найпростішим і природним з усіх класів складності, тепер бентежить мене (незліченними?) Неперевіреними та / або невизначеними атрибутами його членів . Широка мотивація запитань Q1–5 полягала в тому, щоб знайти шлях через цю заплутану гущавину, але відповіді, надані до цього часу (Службою Тревіса та Алексом Брінком), дали ще більше підстав для плутанини!$P$

Покоління математиків Кляйна сильно працювало, щоб знайти гарні визначення кривих та інших фундаментальних елементів теорії множин, геометрії та аналізу. Огляд елементарного рівня можна знайти в дискусії Вікіпедії про сферу Олександра Рогатого

      
      Вбудовування сфери в R3

Протягом 20 століття аналіз "диких колекторів", як Олександрівська сфера, допоміг з'ясувати відмінність між топологічними багатообразиями, кусково-безперервними багатовиділеннями та диференційними багатообразиями. Так само в 21 столітті, можливо, уточнення визначень, пов'язаних з , допоможуть приборкати дикі мови та дикі машини Тюрінга ... хоча визначення відповідних уточнень буде нелегкою задачею.$P$$P$

Фон

Ці пов'язані запитання виникають із вікі-питань спільноти MathOverflow " Які найпривабливіші проблеми Тюрінга, які не можна визначити в математиці? " Та " Які поняття використовуються, але чітко не визначені в сучасній математиці? " Зокрема, Колін Тан попросив, щоб питання, задане вище, було розміщено як окреме запитання.

Для отримання технічної інформації дивіться питання TCS StackExchange " Чи визначаються межі часу виконання в Р? ", Зокрема короткий доказ Емануеле Віоли, що відповідь "ні". Зауважимо також, що подібні результати доводив Юріс Хартманіс у своїй монографії " Можливі обчислення та властивості доказувальної складності" (1978).

Цього тижня у веб-журналі «Lance Fortnow / Bill GASARCH» обчислювальна складність приймає декадальне опитування « Чи чи ні?$P=NP$ » - п’яте і останнє запитання, яке задається, запрошує коментар до питання Fortnow / GASARCH.

На питання 1 відповідь - ні. Нехай мова в P та нехай M - будь-яка поліномна машина Тьюрінга, що розпізнає L (час виконання якого вважається невизначеним). Для кожного k ∈ N нехай M k - машина Тюрінга, яка на вході x довжини n перших циклів для n k кроків потім виконує M на x для n k + k кроків і приймає, якщо M приймає x (у межах цих n k + $L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$кроки) і відхиляє інше. Час виконання становить Θ ( n k ) для кожного k .$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

Оскільки працює в поліноміальний час, існує деякий k ′ ∈ N такий, що M працює в O ( n k ′ ) (навіть якщо ми не знаємо, що таке k ' ), а значить, для всіх k досить великий M k розпізнає L і має рішучий час виконання.$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

EDIT

Я думаю, що наступна відповідь більше відповідає духу того, що мав намір оригінальний плакат із питанням 1.

Теорема: Існує мова така, що якщо N - будь-яка машина Тьюрінга, яка вирішує L, то принаймні одна з наступних дійсна:$L \in P$$N$$L$

1) Не існує доказу того, що приймає L , або$N$$L$

2) Не існує доказу, що зупиняється на кроках f ( n ) (для будь-якої функції f ( n ) ).$N$$f(n)$$f(n)$

Доказ Ескіз: Нехай є машина Тьюринга , яка не зупиняється на порожній стрічці , і для яких не існує докази того, що М не зупиняються на порожній стрічці (результатів незалежності в області комп'ютерних наук по Хартманіс і Hopcroft показує таке M балончика бути ефективно знайденим).$M$$M$$M$

Нехай .$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

Оскільки не зупиняється, L є насправді порожньою мовою, але доказів цього немає (як це могло б довести, що M не зупиняється).$M$$L$$M$

Нехай - будь-яка машина Тьюрінга. Якщо існує як доказ того, що N вирішує L, так і доказ того, що N працює у f ( n ) кроків, то виконання N при запуску на вхід 1 дає або доказ того, що M зупиняється (тобто, якщо N приймає), або що M робить не зупиняється (тобто, якщо N відхиляє). Таким чином, якщо N доказово вирішує L, то час виконання N не може бути вирішеним, і навпаки.$N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

Так, ви можете побудувати машину, яка потребує часу DTIME ( ) -DTIME ( n i ), де i - кількість кроків, зроблених певною машиною Тьюрінга для зупинки на порожній стрічці. Легка побудова та подібні конструкції стосуються майже будь-якого нетривіального аспекту P. Мало розповідає про те, чи не можна визначити P v NP: Немає проблем із доведенням P ≠ EXP, незважаючи на ті самі проблеми.$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

Подумавши більше про цю тему, я думаю, що я знайшов (можливу) відповідь на ваш Q4 .

• Q4: Які ще атрибути (окрім показників часу виконання) на сьогоднішній день, як відомо, не можна визначити? Для яких ознак Р відкрито це запитання?$P$$P$

Я довів варіацію теореми Райса, яка відповідає на ваше запитання щодо більшості властивостей. Я спробую цього разу пояснити себе ясніше (відповідь Служби Тревіса була набагато чіткішою та загальнішою, ніж моя попередня відповідь).

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

Я можу відповісти на ваш Q1 негативно, тим самим відповісти на Q2 і Q3 в негативному. Я не впевнений у Q4 чи Q5, хоча.

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

Таке роздуми про нерозбірливість є досить поширеним, мабуть, я пам’ятаю (блог?) Публікацію про дуже схожу проблему: питання було «чи вирішується, чи має Pi останній« останній нуль »? десяткове представлення, якщо ви спуститеся досить далеко від цього подання. Зараз ми не знаємо, чи так це. Ми навіть не зможемо це довести ніколи, або він може бути навіть незалежним від наших аксіомних систем (і, отже, недоцільним). Але оскільки відповідь є правдивою чи помилковою, TM, що повертає істину, і TM, що повертається хибною, вирішують питання або в будь-якому випадку, і тому проблема вирішується.

Я побачу, чи зможу я десь знайти цей пост в Інтернеті.

Редагувати:

Я знайшов це на Mathoverflow .