Проста (?) Кумедна комбінаторна проблема!

Закріпимо $0<E<1$ і ціле число $t>0$ .

для будь-якого $n$ та для будь-якого вектора $\bar{c} \in [0,1]^n$ такого, що $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

Я не знаю, чи справжнє твердження про помилкове. Я думаю, що це правда.

Моя інтуїція випливає зі спостереження, що для векторів (з відведеною властивістю щодо суми) маємо ; у цьому випадку ми можемо вибрати лише підмножину з набору . $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

В іншому випадку ми можемо створити хороший підмножина (перша сума більша за ), використовуючи координату в але також, можливо, використовуючи декілька координат із набору ми могли б створити інший гарний набір! $E \times t$ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

Отже, доведіть це або знайдіть помилку! сподіваючись, що це може бути для вас смішною грою!

Мотивація питання :

Припустимо, у вас є випадкова величина , типовою мірою "скільки випадковостей" є в - хв-ентропія $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

У певному інтуїтивному розумінні мін-ентропія є найгіршим випадком знаменитої ентропії Шеннона (це середній випадок ).

Нам цікаво знизити міні-ентропію випадкової величини де однорідно розподілено на множині . $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

Якщо нам пощастило, ми можемо зловити шматочки які мають "хорошу ентропію", і тому ми, якщо то $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

Яка ймовірність, що нам пощастить?

Проблема добре вивчена, і існує багато літератури, наприклад див. Лему А.3. у криптографії на основі витоків із відкритим ключем у моделі обмеженого вилучення

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
джерело

Мене бентежить термін . Оскільки не обов'язково є цілим числом, як це визначено?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Дейв Кларк

Яка мотивація?

— Ентоні Лабарре

@Dave Clarke, стандартними підходами є визначення його з точки зору гамма-функції або (враховуючи, що ціле число) як.

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— Пітер Тейлор

Біноміальні коефіцієнти можна узагальнити до неінтегральних аргументів (на сторінці Вікіпедії подано досить багато деталей). У цьому випадку це може бути не потрібно: Зауважте, що достатньо довести це в крайньому випадку, коли сума дорівнює (тобто - їх середнє значення).

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— Клаус Драгер

@Dave: Вибачте за свою неточність, з моєї точки зору ви можете вибрати .

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— АнтоніоФа

Матеріальна публікація не відповідає, але слабша здогадка (щодо підлоги), згадана в коментарях, має місце. Насправді має місце щось сильніше.

Лема 1. Гіпотеза на посаді не виконується. Тобто є примірник, що задовольняє заданим припущенням, де

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

Доказ. Розглянемо екземпляр з , , , . Тоді . Для лівої сторони маємо тому що будь-який підмножина що не містить обох сум 1, максимум до 1,7, і є лише два підмножини ( і ), що містять обидва 1. А права частина - $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

Більш слабка гіпотеза, запропонована в коментарях, а саме пов'язана підлога, , справді . Насправді щось трохи сильніше: $\lfloor E\, n \rfloor$

Лемма 2. Виправити , цілі числа і вектор з . Тоді $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

Доказ. Нехай . Припустимо, WLOG, що . (В іншому випадку масштабуйте і кожен вниз на рівномірний коефіцієнт, щоб зробити це так. Це підтримує і не змінює жодного підмножина, що становить принаймні ані потрібної нижньої межі числа такі підмножини.) Припустимо WLOG, що (інакше претензія має тривіальне значення). $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

Розглянемо будь-який підмножина розміру принаймні , де . Оскільки і містить усі, але не більше ніж елементів (кожного з яких не більше 1), у нас є , за бажанням. $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

Число таких підмножин IS $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ (використовуючи ) $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

Але (використовуючи ), тож остання сума є принаймні бажаною нижньою границею кількості хороших підмножин. $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— Ніл Янг
джерело