Чому комп’ютеру так важко щось довести?

Це може вважатися дурним питанням. Я не є спеціалістом з інформатики (і я ще не є спеціалістом з математики), тому, вибачте, будь ласка, якщо ти вважаєш, що наступні питання містять деякі основні помилкові припущення.

Хоча існують плани формалізувати останню теорему Ферма (див. Цю презентацію ), я ніколи не читав і не чув, щоб комп'ютер міг довести навіть таку «просту» теорему, як Піфагор ».

Чому ні? Яка (/ є) основна складність (/ і) у встановленні повністю автономного доказу за допомогою комп'ютера, що допомагає лише деяким "вбудованим аксіомам"?

Друге запитання, яке я хотів би задати, таке: Чому ми можемо формалізувати багато доказів, тоді як комп’ютер на даний момент неможливо довести теорему самостійно? Чому це "важче"?

automated-theorem-proving

— Макс Мюллер
джерело

Дві основні труднощі. Недовершеність (див. Теореми Геделя) та величезний розмір простору пошуку (є набагато більше нецікавих теорем, ніж цікавих). Значний прогрес досягнуто за допомогою помічників доказів (Кок, Ізабел, Агда тощо). За допомогою цього математик пише теореми та леми, а помічник доказу допомагає знаходити докази та гарантує, що докази логічно справедливі.

— Дейв Кларк

Кларк @ Dave: Добре, так що на насправді ви говорите , що комп'ютер знаходиться в стані довести (нову) теорему, але величезна кількість можливих пошуків робить його важко для нього / її / його писати теорему , яка має якесь - або значення або цікаво, я правий? Чи можете ви поясніть, чому теореми Ґеделя та "незавершеність" є актуальними тут? Крім того, чи є у вас посилання на дослідницьку роботу чи статтю з опитування, де показано, що комп'ютер насправді доводить теорему? Нарешті, чи триває багато досліджень щодо спроб змусити комп'ютери доводити теореми? Як називається ця дослідницька область (продовження ...)

— Макс Мюллер

і чи знаєте ви хороший вступний матеріал про нього? Які передумови в математиці, але особливо в галузі інформатики, щоб насправді зрозуміти цей матеріал?

— Макс Мюллер

Ви могли б бути зацікавлений в деяких роботах Доріана Zeilberger, такі як « Проповідь комп'ютера як Discover (!) , А потім довести (!!) (всі самі собою (!!!)) аналоги Коллатец в Notorious 3x + 1 гіпотезу » ( math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/collatz.html ). Частий співавтор Зейльбергера, Шалош Б. Ехад, - це комп'ютер.

— Роб Сіммонс,

Наступне запитання також дає декілька приємних прикладів комп'ютерів, які допомагають довести теореми: cstheory.stackexchange.com/questions/82/…

— Mugizi Rwebangira

Відповіді:

Хоча існують плани формалізувати останню теорему Ферма (див. Цю презентацію), я ніколи не читав і не чув, щоб комп'ютер міг довести навіть таку «просту» теорему, як Піфагор ».

У 1949 році Тарскі довів, що майже все в «Елементах» лежить у вирішальному фрагменті логіки, коли він показав рішучість теорії першого порядку реальних закритих полів. Тож теорему Піфагора, зокрема, не багато говорять, бо це не особливо важко.

Взагалі те, що робить теорему важкою, - це індукція. Логіка першого порядку без індукції має дуже корисна властивість , зване властивістю подформули: справжні формули мають доказ з участю тільки подтермов . Це означає, що можна побудувати докази теореми, які можуть вирішити, що довести далі, спираючись на аналіз теореми, яку їм доручено довести. (Екземпляри кількісних показників можуть зробити правильне поняття підформули дещо витонченішим, але у нас є розумні методи, щоб впоратися з цим.) $A$ $A$

Однак додавання індукційної схеми до аксіом порушує цю властивість. Єдиний доказ істинної формули може зажадати робити доказ , який не є синтаксичний подформулой . Коли ми стикаємося з цим у паперовому доказі, ми кажемо, що ми повинні "посилити гіпотезу про індукцію". Для комп'ютера це досить важко зробити, тому що для відповідного зміцнення може знадобитися як значна інформація про домен, так і розуміння того, чому ви доводите певну теорему. Без цієї інформації справді релевантні узагальнення можуть загубитися в лісі невідповідних. $A$ $B$ $A$

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Дві основні труднощі. Недовершеність (див. Теореми про незавершеність Геделя) та величезний розмір простору пошуку (є набагато більше нецікавих теорем, ніж цікавих). Значний прогрес досягнуто за допомогою помічників доказів ( Кок , Ізабел, Агда тощо). За допомогою цього математик пише теореми та леми, а помічник доказу допомагає знаходити докази та гарантує, що докази логічно справедливі.

$P$ $Q$ $P\wedge Q$

У цій роботі описано, як корекційний помічник Coq використовується для доведення теоретики чотирьох кольорів. Механізована математика ( огляд ) - це одна сфера ТКС, присвячена (напів) автоматично доказуваним теоремам (і взагалі з використанням комп’ютерів для допомоги математикам).

Однією з областей, де автоматизоване доведення теорем (різного роду) робить вплив, є перевірка моделі та пошук моделі. Перевірка моделі стосується визначення того, чи задовольняє дана система даній властивості, тоді як пошук моделі знаходить систему для задоволення заданої колекції властивостей. Інструмент Alloy використовує перевірку моделей та пошук моделей для хорошого ефекту, і це досить корисно.

— Дейв Кларк
джерело

Я не міг вибрати між цими двома відповідями, бо вони обидва чудові. Я кинув монету, щоб вирішити, яку вибрати. Вибачте, що я не вибрав вашого! Все одно дякую.

— Макс Мюллер

Деякі ви виграєте, деякі програєте.

— Дейв Кларк

Менш технічний, більш математичний рахунок на чотири кольоропроби та його значення було опубліковано в останньому випуску AMS повідомлень (все питання може бути доцільним читання для людей , зацікавлених в питанні , що ОП в).

— Франсуа Г