Які ієрархії та / або теореми ієрархії ви знаєте?

42

В даний час я пишу опитування щодо теорем ієрархії на TCS. Шукаючи супутні документи, я помітив, що ієрархія є фундаментальним поняттям не лише в ТКС та математиці, але в численних науках, від теології та соціології до біології та хімії. Бачачи, що кількість інформації величезна, я сподіваюся, що я можу попросити допомогу у цієї громади. Звичайно, я не хочу, щоб ви займалися бібліографічним пошуком мене, але я прошу про два види інформації:

Ієрархії та теореми ієрархії, які є результатом вашої роботи або роботи ваших колег чи інших людей, з якими ви знайомі, і ви вважаєте, що це не так добре відомо. Це може бути, наприклад, теорема ієрархії для незрозумілої моделі обчислень, яка вас цікавить, або ієрархії конкретних класів, наприклад, пов'язаної з теорією ігор.
Ієрархії та теореми ієрархії, які Ви вважаєте абсолютно необхідними, включаються до такого опитування. Це, мабуть, було б мені відомо вже, але було б корисно подивитися, які ієрархії ви вважаєте важливішими та чому. Це може бути такий тип "Я вважаю $PH$ дуже важливим, тому що без нього ми не змогли б зробити подібні дослідження" або "Хоча це не так відомо, в TCS на основі логіки ми постійно використовуємо цю ієрархію, і я вважаємо це важливим інструментом ". . І так, я вважаю, що люди з логіки мають багато ієрархій, але майте на увазі, що ми говоримо про ієрархії проблем.

Я буду тримати оновлений список тут:

$DTIME$ Ієрархія
$NTIME$ Ієрархія
$SPACE$ Ієрархія
Арифметична (також відома як Kleene) Ієрархія
Гіперарифметична Ієрархія
Аналітична Ієрархія
Ієрархія Хомського
Ієрархія Гжегорчика та пов'язані з ними: Ієрархія Вайнера (швидкозростаюча), Ієрархія Харді
(повільно зростаюча) та Ієрархія Веблена
Ієрархія Річі
Ієрархія Axt (як визначено в Axt63 )
Ієрархія циклу (визначена в MR67 )
$NC$ ( $AC$ , $ACC$ ) Ієрархія
Ієрархія глибини, визначена в Sipser83
Поліномальна ієрархія ( ) та менш вдосконалена ієрархія Мейєра-Стокмейєра (відсутність дистинкції між кількісними показниками) $PH$
Експоненціальна ієрархія ( ) $ELEMENTARY$
-Посередня ієрархія (теорема Ладнера) $NP$
Не дуже міцний (Артур-Мерлін) $AM$
(недетермінірованного Fixed-параметри) ієрархія і пов'язана з ним Змінним Вт ієрархія ( -hierarchy) і -hierarchy (Вт з залежною від параметра Глибина) $W$ $AW$ $W^{*}$
Ієрархія підрахунку
Ієрархія Фур'є
Булева ієрархія (понад ), також дорівнює Ієрархії запитів (понад ) $NP$ $NP$
Ієрархії тестування властивостей, як показано в GoldreichKNR09
Ієрархія точок глибини без регулярних мов
: Класи, розв’язувані програмами розгалуження поліномальних розмірів, з додатковою умовою, що кожен біт вхідного тесту перевіряється не більше d разів, утворюють ієрархію для різних значень $BP_{d}(P)$ $d$
Ієрархія часу для складної схеми
Поліноміальна ієрархія в складності спілкування

Примітка. Якщо ви не хочете, щоб вас згадували виключно, будь ласка, скажіть так. Як правило, я згадаю як громаду, так і конкретну людину, яка виводить на світ нову інформацію.

— шазисоп
джерело

2

Це дуже схоже на питання спільноти Wiki. Чи повинен я його перетворити?

— Дейв Кларк

Теорема Ладнер можна узагальнити , щоб отримати нескінченні ієрархії між іншими класами (за умови , що вони різні) , наприклад, між Р і Р ^ # Р .

— Тайсон Вільямс

13

Можна також згадати «антиієрархічні» теореми, тобто теореми про дихотомію. Теореми про дихотомію могли, ймовірно, отримати ціле опитування до себе, але, мабуть, їх слід принаймні згадати поряд із чимось на зразок теореми Ладнера.

— Джошуа Грохов

1

Ви запитуєте лише про ієрархії класів проблем? Існує також поняття "ієрархія тестів", див. , Наприклад , arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 .

— Алессандро Косентіно

1

Так, розглядаються лише ієрархії класів складності. Навіть обмежившись ними, є дуже багато для збору інформації.

— chazisop

21

Ієрархія Фур'є, як визначено в " Яоюнь Ши, Квантові та класичні компроміси ".

Зі складності зоопарку :

$\mathsf{FH}_k$ - клас задач, що вирішується рівномірним сімейством квантових схем величини полінома, з $k$ рівнями воріт Адамара та всіх інших воріт, що зберігають обчислювальну основу.

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ містить факторинг черезалгоритм оцінки фаз Кітаєва.

Відкритою проблемою є показати, що ієрархія Фур'є нескінченна відносно оракула (тобто $\mathsf{FH}_k$ суворо міститься у $\mathsf{FH}_{k+1}$ ).

— Робін Котарі
джерело

18

- По лінії «антиієрархій», варто згадати теорему про розрив Бородіна .

Теорема. Для кожної сумарної обчислюваної функції такої, що , існує загальна обчислювана така, що . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

$g$

- Є також цікаві посилення звичних ієрархій часу, такі як:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(є проблеми в часі не можуть бути успішно вирішені жодним часом машиною часу, використовуючи бітів порад, навіть для лише нескінченної кількості вхідних довжин). Доказ простий: нехай перераховує машини часу, які приймають бітів порад як другий вхід. Визначте який розбиває на де, запускає і видає протилежну відповідь. Тоді . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- Відсутність відомих ієрархій часу в певних ситуаціях слід розглядати (як відкриті проблеми). Наприклад, ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Райана Вільямса
джерело

2

Це ? інакше твердження не цікаве: просто виберіть .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Сашо Ніколов

@Sasho, здається, так. Твердження теореми про розрив Бородіна (за посиланням) говорить стільки ж.

— Даніель Апон

16

Зоопарк Складності дає вам деякі ієрархії . Серед них ієрархія підрахунку та булева ієрархія вже не цитувались.

[EDIT] Щоб моя відповідь була більш інформативною, швидке визначення Ієрархії підрахунку.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Тоді, що стосується ієрархії поліномів, визначається як . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

Ієрархія підрахунку була визначена Вагнером [Wag86]. Посилання на теорію порогових ланцюгів виявили Allender & Wagner [AW93]. Набагато недавно Бюргіссер [Bür09] також використовував ієрархію підрахунку, щоб співвіднести модель Валіана з -конструкцією Шуба і Смала. Зокрема, він довів, що -конструкція передбачає суперполіномічну нижню межу для постійної. $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Вагнер. Складність комбінаторних задач з коротким поданням вхідних даних . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender & KW Wagner. Ієрархії підрахунку: ланцюги поліномів часу та постійної глибини . Сучасні тенденції в галузі інформатики , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Про визначення цілих чисел та доведення нижньої межі арифметичної схеми . Комплексна обчислюваність 18 (1), 81-103, 2009.

— Бруно
джерело

16

Goldreich та ін. ін. мати теореми ієрархії для тестування властивостей:

Од Голдрайх, Майкл Кривелевич, Ілан Ньюман, Ейал Розенберг: Теореми ієрархії для тестування власності. Тестування майна , Лекційні записки з інформатики, Вип. 6390, с. 289-294, Спрингер, 2010.

Також на ECCC .

— Йонатан
джерело

тут показано, що більшість властивостей вимагає запитів у квантовій моделі. Це може бути підключено до доказу теореми ієрархії відповіді, щоб показати, що вона також має значення для квантового тестування властивостей. (Насправді для будь-якої природної обчислювальної моделі з принаймні однією властивістю, яка вимагає запитів для тестування, і будь-які обчислювані вас є властивості, які можна перевірити в запити).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Артем Казнатчеєв

15

Сіпсер показав ієрархію глибини в межах , тобто, схеми глибини полі розміром є більш потужними, ніж схеми глибини розміру poly: $AC^0$ $d+1$ $d$

Шипсер, М. Борель набори та складність ланцюга . STOC 1983.

— Джошуа Грохов
джерело

11

Дітер ван Мельбібек та співавтори мають ієрархії часу та простору для семантичних моделей із порадами, включаючи рандомізацію.

Дітер ван Мелькебек, Костянтин Первишев: Загальна ієрархія часу з одним порадою . Комплексна обчислюваність 16 (2): 139-179 (2007)
Джефф Кінне, Дітер ван Мелкебек: Результати космічної ієрархії для рандомізованих та інших семантичних моделей . Комплексна обчислюваність 19 (3): 423-475 (2010)

— Тайсон Вільямс
джерело

10

Ось більше ієрархій для семантичних занять із порадами. Зокрема, для ZPTIME та RTIME.

Ленс Фортноу, Рахул Сантанам, Лука Тревісан. Ієрархії семантичних застережень . В STOC'05.

— Маркос Вільягра
джерело

10

Існує ієрархія Чжен-Вайхрауха для реальних чисел

X. Чжен і К. Вейрах. Арифметична ієрархія дійсних чисел . Математична логіка щоквартально.Вол. 47 (2001), №1 51 - 65.

— Хтось
джерело

9

Існує клас , визначений у статті 1975 р. Л. Адельманом та К. Мандерсом, який є діофантиновим аналогом класу . Мова міститься в iff, якщо існує поліном такий, що Чи дорівнює - це відкрита проблема. Ця рівність показала б зв'язок між теорією чисел та інформатикою. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

Існує діофантиновий аналог поліноміальної ієрархії, який називається "діофантинова ієрархія". Поліноміальна та діофантинова ієрархії переплітаються:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Олександр Ноп
джерело

Ви маєте на увазі doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 або doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— Андраш Саламон

D

$D$ визначено у другому ("Складність Діофантину").

— GMB

@ AndrásSalamon Посилання, здається, не працюють.

8

Ще одна сувора ієрархія: програми розгалуження, які протестують кожен біт обмеженою кількістю разів. Чим більше тестів дозволено, тим більший клас програм розгалуження. Зазвичай програми розгалуження також обмежені розмірами поліномів. BP _d (P) - клас програм розгалуження поліномних розмірів, який може перевірити кожен біт до разів. $d$

L / poly - це об'єднання BP _d (P) над усіма d , тоді як BP _d-1 (P) BP _d (P) для кожного d . $\subsetneq$

— Андраш Саламон
джерело

8

У теорії параметризованої складності існує декілька ієрархій, хоча в публікаціях часто з'являється лише згадана -ієрархія. Інші: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -хірархія
$\mathsf{AW}$ -хірархія
$\mathsf{EW}$ -хірархія
$\mathsf{LOG}$ -хірархія
$\mathsf{M}$ -хірархія
$\mathsf{S}$ -хірархія
$\mathsf{W^∗}$ -хірархія
$\mathsf{W^{func}}$ -ієрархія

Всі вони описані в теорії параметризованої складності, Flum and Grohe, Birkhäuser, 2006 .

— Мартін Лакнер
джерело

7

Не впевнений, чи відповідає це вашим критеріям, але існує ієрархія точок глибини без регулярних мов.

— мум
джерело

6

Ієрархія розміру схеми див. Попереднє запитання .

— Емануеле Віола
джерело

5

Теорія регулярних мов нескінченних дерев породила кілька ієрархій, які зараз вивчаються, з багатьма питаннями, які досі залишаються відкритими.

При використанні автоматів на нескінченних деревах особливий інтерес представляє умова паритету (або умова Мостовського), оскільки недетерміновані автомати парності можуть виражати всі регулярні мови нескінченних дерев, а структура умови прийняття є простішою, ніж інші, наприклад Рабін чи Мюллер .

Кожен автомат паритетності має ранг де та , описуючи структуру умови прийняття. Отже, якщо мова розпізнається за (det / ND / alt) автоматом рангу ми говоримо, що належить до рівня рівня (відповідно): $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

детермінована ієрархія Мостовського (не всі звичайні мови)
недетермінована ієрархія Мостовського
чергування ієрархії Мостовського

Рівень змінної ієрархії (тобто визначається як Büchi, так і co-Büchi) відповідає слабкому рівню і характеризується слабкими чергуються автоматами, що створюють ієрархію: $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

слабка ієрархія індексу (не всі звичайні мови)

Для всіх цих ієрархій (за винятком детермінованої) вирішуваність членства на рівні для даної регулярної мови є відкритою проблемою. Зв'язок між цими ієрархіями та топологічними класифікаціями (також їх називають ієрархією Уедже та ієрархією Бореля) також створював кілька відкритих проблем. Наприклад, передбачається, що слабка ієрархія індексу та ієрархія Бореля збігаються. Всі ці ієрархії, як відомо, суворі, і деякі особливі випадки визначення рівня (особливо низьких рівнів, або з вхідним детермінованим автоматом) були нещодавно вирішені. $L$

— дикупера
джерело

4

Існують ієрархії складної пропозиції, схожі на складність схем. Наприклад, системи даху схожі на , системи захисту від C-Frege для схожі на класи складності ланцюга тощо. $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

Є також ієрархії в обмеженій арифметиці, наприклад, теорії тощо. $\mathsf{S^i_j}$

— Каве
джерело

4

Ось нова ієрархія для контекстних мов Томоюкі Ямакамі.

Він впроваджує механізм оракул у недетермінованих автоматичних витисканнях та поняттях Тюрінга та багатьох-одного скорочення. Тоді будується нова ієрархія для мов, що не містять контексту (CFL), подібних до ієрархії поліномів. Наприклад, , і т.д. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— Маркос Вільягра
джерело

3

Робота над однією з точок кулі, згаданою ОП (GoldreichKNR09): є кілька теорем ієрархії при тестуванні властивостей та доказів близькості, що стосуються складності запиту, адаптивності або доказів щодо кількості раундів (для доказів близькість). Дивіться, наприклад,

Теореми ієрархії для тестування власності , Од Голдрайх, Майкл Кривелевич, Ілан Ньюмен, та Ейал Розенберг, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [згаданий ОП]
Теорема ієрархії інтерактивних доказів близькості , Том Гур та Рон Ротблум, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Теореми ієрархії для тестування властивостей у складності запиту , що не враховує розмір , Од Голдрайх, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Теорема ієрархії адаптивності для тестування властивостей , Клімент Канонн і Том Гур, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Климент С.
джерело

Вказівка на цю відповідь , яка зосереджена на першій (GoldreichKNR09).

— Климент С.

3

З цього питання на cs.stackexchange мені стало відомо про ієрархію роду регулярних мов . По суті, ви можете характеризувати звичайні мови на основі мінімальної родової поверхні, в яку може бути вбудований графік їх DFA. В [1] показано, що існують мови довільно великого роду і що ця ієрархія є належною.

Бонфанте, Гійом і Флоріан Делуп. " Рід регулярних мов ". Математичні структури з інформатики 28.1 (2018): 14-44.

— мум
джерело

2

Підрахунок ієрархії поліномів, #PH коротко. Перший рівень - #P, потім #NP ... і т.д.

— Tayfun Pay
джерело

1

Ієрархія поліномів у складності спілкування, визначена Бабаєм, Франклом та Саймоном (див . Оригінальний документ тут і без платної стіни тут ). Значення цієї ієрархії важко переоцінити. Перш за все, функція нерівномірності була запроваджена BFS у тому самому документі, який запровадив ієрархію, і нерозбірливість постала цілком природно як спільна проблема coNP . Як ви знаєте, діз'юнктность є функцією в комунікаційної складності. По-друге, доведення нижчих меж проти ієрархії поліномів у складності спілкування є головною відкритою проблемою з важливими наслідками в інших сферах ТКС (наприклад, див. Цей документ та посилання на нього). $^{cc}$

— Денис Панкратов
джерело

Дякую за доповнення, я відредагував ваш коментар, щоб зрозуміти, що coNP посилається на складність спілкування (я знаю, що це часто випадає у спільноті складності спілкування, щоб уникнути безладу нотацій).

— chazisop

1

Розглянемо Неоднозначну ієрархію поліномів, тут посилається оригінал посилання на однозначну ієрархію поліномів (платня). Під час вивчення булевої ієрархії BH та класів, таких як які мають хороші результати, пов'язані із закриттям, та встановлення відмінностей, ми можемо досліджувати зв’язки з однозначним обчисленням. $D_{p}$

Як стверджують автори (в оригіналі посилання), класи і дають результати, пов'язані з і . Маючи однозначну схему, вони могли по- різному характеризуватиТакож, пов’язаною з вищевказаною ієрархією, є Обіцяна однозначна ієрархія. Результати низькості для однозначної ієрархії полінома- "якщо для є набір розрідженого комплексу Тьюрінга $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$ , , ієрархія згортається на нижчі рівні, або в Обіцяючи однозначний випадок".

Для подальшого вивчення булевих сполучників та графічного ізоморфізму є Низька та Висока Ієрархії , також посилання на вікіпедію .

— версії користувача3483902
джерело

0

Детальніше про незрозумілу сторону: Моя теорема про герархію другого порядку для логіки з фіксованою точкою в теорії скінченних моделей. Дивіться ще одну теорему ієрархії .

— Макс Кубєрський
джерело