Чи можна реально виявити сильну твердість NP, використовуючи звичайне скорочення полімета?

17

Нещодавно я прочитав доказ, який мав на меті показати, що проблема була сильно важкою для NP, просто шляхом зменшення до неї (в поліноміальний час) від сильно важкої проблеми NP. Це не мало для мене сенсу. Я б подумав, що вам доведеться показати, що будь-які числа, що використовуються для скорочення, та випадки проблеми, яку ви зменшуєте, поліноміально обмежені в розмірі проблеми.

Потім я побачив, що Вікіпедія дала ті самі загальні вказівки щодо такого роду доказів, але я не був дуже впевнений, поки не побачив, як Гарі і Джонсон говорять в основному те саме. Конкретно, вони кажуть: «Якщо є NP-важкою в сильному сенсі і існує псевдо-поліноміальний перетворення від до , то є NP-важкою в сильному сенсі» і «Зверніть увагу , що, за визначенням алгоритм поліноміального часу також є алгоритмом псевдополіномального часу ". $\Pi$ $\Pi$ $\Pi'$ $\Pi'$

Звичайно, я беру на це слово Гарі та Джонсона - я просто не розумію, як це може бути правильним, в чому я хотів би допомогти. Ось мої (імовірно, хибні) міркування ...

Є сильно неповні проблеми, і всі вони (за визначенням) сильно важкі як NP, так і NP-повні. Кожна проблема, повна NP, може бути (за визначенням) зведена до будь-якої іншої за багаточлен (і, отже, псевдополіноміальний) час. Зважаючи на твердження Гарі та Джонсона, мені здається, що кожна проблема, що завершує NP, сильно не є повною, і, отже, кожна проблема, яка не відповідає НП, є важкою для NP. Це, звичайно, робить поняття сильної твердості NP безглуздим ... так що мені не вистачає?

Редагування / оновлення (на основі відповіді Цуйосі Іто):

Вимога (d) з визначення Гарі та Джонсона щодо (псевдо) поліноміальної трансформації (виду зменшення, необхідного для надання твердості NP в сильному сенсі) полягає в тому, щоб найбільша числова величина в результуючому екземплярі була поліноміально обмежена як функція розміру задачі та максимальної чисельної величини оригіналу. Це, звичайно, означає, що якщо вихідна проблема є NP-жорсткою в сильному сенсі (тобто навіть коли її числові величини поліноміально обмежені в розмірі проблеми), це також буде стосуватися проблеми, до якої ви зводитесь. Це не обов'язково стосується звичайного скорочення полімережі (тобто такого, без цієї додаткової вимоги).

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— Magnus Lie Hetland
джерело

Чудово! Моя математика ТА зробила це вчора, і я хоч і був рибним. Тепер я можу надати йому посилання.

— Рафаель

14

Згідно з термінологією у статті Гарі та Джонсона, поліноміально-часові перетворення не обов'язково є псевдополіномічними перетвореннями, оскільки це може порушити пункт (d) у Визначенні 4.

— Цуосі Іто
джерело

1

Так - поліноміальний алгоритм обов'язково є псевдополіноміальним, але поліноміальне зменшення не обов'язково називає псевдополіномічним перетворенням. Насправді, їх пункт (d) - це саме те, що я вважав відсутнім (тобто деяке обмеження щодо розміру номера). Спасибі.

— Magnus Lie Hetland

9

Щоб розширити відповідь Цуйосі:

У контексті Гарі та Джонсона розгляньте перехід від ЧАСТИНИ (стор. 47, розд. 3.1) до розкладу багатогранників (п. 65, п. 3.2.1, пункт (7)).

Перетворення (обмеженням) передбачає встановлення . Але якщо довжини завдань, то, єзанадто великими, то вона не може бути такщо існує два-змінної поліномтакимщо,, Max`(Макс. $D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$ $l(a)$ $q_2$ $\forall I \in D_{\Pi}$ $[f(I)] \le q_2$ $[I],$ $[I])$ (тобто пункт (d) у визначенні псевдополіномічної трансформації).

$l(a)$ $l(a)$ $|A|$

Ви можете прочитати Вікіпедію на відповідну тему . Наприклад, у нас є динамічний алгоритм поліноміального часу, заснований на програмуванні, для NP-повної проблеми KNAPSACK - принаймні, до тих пір, поки числа будуть досить маленькими. Коли числа стають занадто великими, цей алгоритм "полінома-час" відображатиме "експоненціальну поведінку". (G&J, стор. 91, Розділ 4.2)

— Даніель Апон
джерело