Швидке згортання малих кінцевих полів

Назвіть найвідоміші методи циклічної згортки довжиною над малим полем, тобто коли | Ж | ≪ n ? Мене особливо цікавлять поля постійного розміру, або навіть F = F 2 . Загальні твердження та посилання на асимптотичну ефективність високо оцінені.$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

Передумови: Нехай - поле, а n > 0 . Ми вважаємо, що вектори u ∈ F n мають координати, індексовані Z n .$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

(Циклічний) згортки довжини над F є перетворення з U , V ∈ F п і виведення U * v ∈ F п , що визначається ( ¯u * про ) я : = Σ J ∈ Z н v J U я - J , з арифметикою індексу над Z n .$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

Для виконання циклічної згортки над великими полями популярним методом є використання теореми згортання для зменшення нашої проблеми виконання дискретних перетворень Фур'є (DFT) та використання алгоритму FFT.

Для малих кінцевих полів DFT не визначено, оскільки немає первісного -го кореня єдності. Можна обійти це вкладення * проблема більшою кінцевої області, але це не ясно , що це кращий спосіб , щоб продовжити. Навіть якщо ми підемо цим маршрутом, було б непогано знати, чи хтось уже опрацював деталі (наприклад, вибравши, яке велике поле використовувати та який алгоритм FFT застосувати).$n$$^*$

Додано:

Під «вбудовування» наш згортку в, я маювиду одну з двох речей. Перший варіант: можна перейти до поля розширення, в якому бажані примітивні корені єдності примикають, і зробити згортку там. $^*$

Другий варіант: якщо наше вихідне поле є циклічним, можна перейти до циклічного поля більш великої характеристики - достатньо великої, що якщо ми вважаємо наші вектори лежачими у F p ' , не виникає "обгортання". (Мені неформально, але просто подумайте про те, як, щоб обчислити згортання на F 2 , ми можемо чітко просто зробити те саме згортання над Z , а потім прийняти відповіді mod 2.)$\mathbb{F}_{p'}$$\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$$\mathbb{Z}$

Також додано:

Багато алгоритмів FFT і пов'язаних з ними проблем особливо добре працюють для «приємних» значень (і я хотів би зрозуміти ситуацію з цим краще). $n$

Але якщо не намагатися скористатися спеціальними значеннями , проблема циклічної згортки в основному еквівалентна (легким скороченням, що включає лінійне вибух в n ), звичайній згортці; це в свою чергу еквівалентно множенню многочленів з коефіцієнтами на F p . $n$$n$$\mathbb{F}_p$

За цією еквівалентністю можна використати результати, наприклад, у цій роботі фон Зура Ґетена та Герхарда (будуючи на роботі Кантора), які використовують підхід із розширенням поля, щоб отримати складність ланцюга, обмежену . Вони не визначають свої межі особливо чітко ІМО, але межа є гіршою, ніж n ⋅ log 2 n навіть для F 2 . Чи можна зробити краще?$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Як видається, нещодавній статтю Олексія Поспелова видає сучасний стан. (Межі, які я цитую, не вперше, але вони досягають їх уніфікованим чином для довільних полів, і що не менш важливо, вони чітко констатують межі, див. Стор. 3)

можна помножити два градусів- п поліноми над довільним полем F з використанням O ( п увійти п ) множення в F і O ( п увійти п увійти лог п ) доповнення в F . Це спочатку пов’язано з Шонгаге-Страссеном (для char. ≠ 2 ) та Шонхаге за чарами. 2. Як я вже згадував, це означає ті самі межі циклічної згортки. Поспелов також зазначає: "Наразі нам невідомі будь-які алгоритми із верхньою межею [вищезазначеного], які не базуються на послідовних програмах DFT ..."$\bullet$$n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

$\bullet$

$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

$\bullet$

Тодд Mateer в дисертації також здається, відмінний ресурс , щоб зрозуміти FFT літератури і додатки для множення поліномів (спасибі Глечик!); але вам доведеться більше копати, щоб знайти те, що ви шукаєте.