Яке співвідношення та відмінність між обчисленням індуктивних конструкцій та теорією інтуїціоністського типу?

Як зазначено в назві, я цікавлюсь будь-яким відношенням та різницею між CIC та ITT. Чи може хтось пояснити чи вказати мені якусь літературу, яка порівнює ці дві системи? Спасибі.

Я вже дещо відповів, але спробую дати більш детальний огляд теоретичного типу горизонту, якщо ви хочете.

Я трохи нечіткий щодо історичної специфіки, тому більш обізнаним читачам доведеться пробачити мене (і виправити мене!). Основна історія полягає в тому, що Керрі розкрив основну відповідність між просто типізованими комбінаторами (або -термінами) та пропозиційною логікою, яку Говард розширив на логіку першого порядку, і IIRC, незалежно відкритий де Бруйном у розслідуваннях навколо впливова система Automath .$\lambda$

Система Automath була вдосконаленням теорії простого типу Церкви, яка сама по собі була драматичним спрощенням теорії типу Русселя та Уайтхеда з всесвітами та аксіомою приводимості . Це був досить відомий логічний ландшафт до 60-х років.

Визначає відповідне правило усунення. Потім він дав дуже потужну основоположну систему, засновану на таких судженнях, що дозволило йому надати основоположну систему, схожу на Automath, використовуючи дуже мало синтаксичних конструкцій. Гірард виявив, що ця система суперечлива, що спонукало Мартіна-Льофа прийняти предикативні всесвіти в стилі Русселя , сильно обмеживши виразність теорії (ефективно усунувши аксіому приводимості) і зробивши її трохи складнішою (але мала перевагу роблячи це послідовним).

Елегантні конструкції, що дозволяють визначити логічні символи, вже не працювали, що спонукало М. Л. ввести їх у іншій формі, як індуктивно визначені сім'ї . Це дуже потужна ідея, оскільки вона дозволяє визначити все - від рівності судження та логічних операторів до натуральних чисел та функціональних типів даних, як вони з'являються в інформатиці. Зауважимо, що кожна сім'я, яку ми додаємо, схожа на додавання ряду аксіом, які потрібно обґрунтовувати як послідовні у кожному випадку. Ця система (залежні типи + всесвіти + індуктивні сім'ї) зазвичай називається ITT .

Однак були певні затяжні розчарування, оскільки потужна, але проста основоположна система була непослідовною, а отримана система була більш складною і дещо слабкою (в тому сенсі, що важко було розробити в ній багато сучасних математичних рамок). Увійти Тьєррі Кокенд, який разом зі своїм керівником Джерардом Хуетом представив обчислення конструкцій (CoC) , які здебільшого вирішили ці питання: уніфікований підхід до доказів і типів даних, потужна (непередбачувана) фундаментальна система та здатність визначати "конструкції" "логічного чи математичного різноманіття. Це врешті-решт визріло до фактичного впровадження системи, розробленої як сучасна альтернатива Automath, що завершилось системою Coq, яку ми знаємо і любимо.

Я настійно пропоную цей основоположний документ про CoC, оскільки Тьєррі знає смішну суму про історичний розвиток теорії типів і, ймовірно, пояснює це набагато краще, ніж я. Ви також можете перевірити його статтю про теорію типів, хоча це не так поясніть відповідність СН дуже детально.