Перехід від квантових до класичних випадкових прогулянок по лінії

Швидка версія

Чи існують моделі декогерентності для квантової прогулянки по лінії, такі, що ми можемо налаштувати прогулянку на поширення як для будь-якого ?$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

Мотивація

Класичні випадкові прогулянки корисні при розробці алгоритмів, а квантові випадкові прогулянки виявилися корисними для створення декількох крутих квантових алгоритмів (іноді з показовими експоненціальними збільшеннями швидкості ). Таким чином, важливо зрозуміти різницю між квантовими та класичними випадковими прогулянками. Іноді найпростіший спосіб зробити це - розглянути моделі іграшок, наприклад, прогулянки по лінії.

Існує і мотивація фізики: цікаво знати, як квантова механіка переходить у класичну механіку. Але це не дуже стосується кстеорії.

Моя особиста мотивація є абсолютно ортогональною: я намагаюся співставити деякі експериментальні дані з моделлю, яка плавно переходить від квантової до класичної та є відносно інтуїтивно зрозумілою.

Фон

Розглядаючи квантові та класичні прогулянки на цілій лінійці, ключовою відмінністю є те, що стандартне відхилення (розподілу позицій) квантового ходу йде як а класичні як де - кількість кроків для дискретної моделі або час у безперервній моделі. Зауважте, що це не обмежується лінією, і для багатьох графіків ви побачите подібну квадратичну залежність між квантовим і класичним часом змішування, я вважаю обмежений випадок лінії, оскільки я думаю, що це простіше проаналізувати.$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

Коли ми впроваджуємо декогерентність до квантової прогулянки (або через вимірювання, або через шум), прогулянка починає вести себе більш класично. Насправді, для більшості вимірювань ми просто закінчуємо класичну прогулянку, яка поширюється як якщо її дивитись з правильного часового шкалу. Для інших форм декохеренції (наприклад, відхилення монети або введення недоліків у лінію) зазвичай існує різкий поріг, нижче якого прогулянка поводиться квантово (поширюється як ) і над якою хода починає бути класичною ( поширюється як ). Насправді це масштабування навіть було запропоновано як визначення квантової прогулянки.$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

Довга версія питання

Чи існують моделі декогерентності для випадкової прогулянки по лінії, так що, коли ми змінюємо кількість декогерентності, ми можемо досягти стандартного відхилення в положенні, яке масштабується як для будь-якого ? Альтернативно для інших графіків, які мають розрив у часі перемішування чи влучення, чи існують форми декогерентності, так що ми можемо мати змішування / удари / стандартне відхилення, яке відповідає для будь-якого і де - класичне змішування / удари / STD, а - чистий квант. Якщо це неможливо, то чи є глибша причина, чому ми бачимо подібну поведінку однієї чи іншої?$\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

Чудове запитання. Насправді те саме питання спливе в чомусь, над чим я працював кілька місяців тому ( arXiv: 1011.1217 ). Здається, що будь-який природний вид декогерентності призводить до поведінки, яка спочатку виглядає балістичною, але стає дифузійною у міру збільшення часу, тому ви переходите між режимом і . Дивіться рисунок 2 у вищенаведеному документі для прикладу цього. Це, мабуть, природна поведінка, оскільки ваш стан поступово втрачає узгодженість.$t$$t^{\frac{1}{2}}$

Здається, це говорить про те, що дисперсія змінюється лише коли-небудь або , а отже, хода поширюється як або .$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Однак саме те, що відбувається в квантовій метрології, коли вводиться шум, але його можна подолати, щоб отримати проміжне масштабування (див., Наприклад, JA Jones et al., Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , тощо). Один із способів цього можна досягти, провівши проміжні вимірювання.

Уявіть, що ви вимірюєте положення ходунки після кожного періоду часу, коли руйнується хвильовою функцією, і дозволяє вільну еволюцію між ними. Тепер уявімо, що ми хочемо розвинути систему протягом загального часу . Тоді дисперсія в положенні ходунки після цього часу буде . За відсутності іншої декоративності ми знаємо, що ходунок рухається балістично, а значить, , і тому . Однак, як , ми можемо взяти і . Таким чином$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$ T ∝ t 1 - k Var ( x ( t ) ) = t 2 - $n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$. Таким чином можна досягти будь-якого проміжного масштабування, вибравши відповідний інтервал вимірювання.